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绝对值不等式

\f教材回扣夯实双基

重点难点

重点:①不等式和基本不等式的性 质.②含绝对值不等式的解法. 难点:①含绝对值的三角不等式.②不 等式的基本证明方法.

\f基础梳理

1 .不等式的性质 ( 前面已复习过不再重

复)

2.绝对值三角不等式

(1)定理1 如果a,b是实数,则|a+ |a|+|b| ,当且仅当_______ ab≥0 时, b|≤__________ 等号成立.

\f(2) 定理 2 如果 a , b , c 是实数,那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c| , 当 且 仅 当 ______________________ (a-b)(b-c)≥0 __________________ 时,等号成立. (3)||a|-|b||≤|a+b|.

\f思考探究 绝对值三角不等式的向量形式及几何 意义是什么? 提示:当a,b不共线时,|a+b|<|a|+ |b|,它的几何意义就是三角形的两边 之和大于第三边.

\f3.分式不等式 b-n b b+m 若 a>b>n>0,m>0,则 a 的解 集

\f不等 式 |x|

a>0

a= 0

a<0

{_________ x|-a

___ ? {x|x∈R且 x≠0}

___ ?

{x|x>a或 __________ |x|>a x <- a } _________

R

\f(2)|ax + b|≤c(c>0) 和 |ax + b|≥c(c>0) 型不 等式的解法

-c≤ax+b≤c ; ①|ax+b|≤c?________________ ax+b≥c或ax+b≤-c ②|ax+b|≥c?_____________________.

(3)|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c 型不等式解法.

\f解法 1( 分类讨论思想 ) :①令每个绝对值

符号里的一次式为0,求出相应的根.

②把这些根由小到大排序,它们把实数

轴分成若干个小区间.

③在所分区间上,根据绝对值的定义去

掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这

个区间上的解集.

\f④这些解集的并集就是原不等式的解 集. 解法2(函数与方程思想):构造函数 f(x)=|x-a|+|x-b|-c,写出f(x)的分 段解析式作出图象,找出使f(x)≤0(或 f(x)≥0)的x的取值范围即可.

\f解法 3( 数形结合思想 ) :利用绝对值的 几何意义求解, |x - a| + |x - b| 表示数

轴上点P(x)到点A(a)、B(b)距离的和.

关键找出到 A 、 B 两点距离之和为 c 的

点,“≤”取中间,“≥”取两边.

注意这里c≥|a-b|,若c<|a-b|,则|x -a|+|x-b|≤c的解集为?,|x-a|+|x -b|≥c解集为R.

\f考点探究讲练互动

考点突破

考点1

含绝对值三角不等式等号成

立的条件

解不等式除要根据所给出的不等式的题 目结构特征选择和确定方法外,要特别

\f注意不等式等号成立的条件,利用不 等式等号成立的条件进行解题,解题 过程往往会变得更加简便快捷.

\f例1

解关于x的不等式 |x+logax|

|logax|(a>1).

【思路分析】

=”当且仅当ab≥0时成立,

∴若|a+b|<|a|+|b|,则ab<0.

\f【解】

根据绝对值三角不等式,原

不等式可\r

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