第2讲 不等式的证明-学路网-学习路上 有我相伴 - 金沙国际娱乐官网

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第2讲不等式的证明1.设不等式|2x-1|<1的解集为M.

(1)求集合M;

(2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.

解(1)由|2x-1|<1得-1<2x-1<1,

解得0(2)由(1)和a,b∈M可知0所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0.

故ab+1>a+b.

2.已知a,b,c均为正实数,且互不相等,且abc=1,求证:a+b+c<1 a+

1 b+1 c.

证明法一∵a,b,c均为正实数,且互不相等,且abc=1,

∴a+b+c=1

bc+

1

ca+

1

ab<

1

b+

1

c

2+

1

c+

1

a

2+

1

a+

1

b

2=

1

a+

1

b+

1

c.

∴a+b+c<1

a+

1

b+

1

c.

法二∵1

a+

1

b≥2

1

ab=2c;

1 b+1

c≥2

1

bc=2a;

1

c+

1

a≥2

1

ac=2b.

∴以上三式相加,得1

a+

1

b+

1

c≥a+b+c.

又∵a,b,c互不相等,∴1

a+

1

b+

1

c>a+b+c.

法三∵a,b,c是不等正数,且abc=1,

∴1

a+

1

b+

1

c=bc+ca+ab=

bc+ca

2+

ca+ab

2+

ab+bc

2>abc

2+a2bc+ab2c=

a+b+c.

∴a+b+c<1

a+

1

b+

1

c.

3.(2017·衡阳二联)已知函数f(x)=|x-3|.

(1)若不等式f (x -1)+f (x )(2)若|a |<1,|b |<3,且a ≠0,判断f (ab )|a |与f ? ??

??b a 的大小,并说明理由. 解 (1)因为f (x -1)+f (x )=|x -4|+|x -3|≥|x -4+3-x |=1, 不等式f (x -1)+f (x )则1≥a 即可,

所以实数a 的取值范围是(-∞,1].

(2)f (ab )|a |>f ? ????b a .

证明:要证f (ab )|a |>f ? ??

??b a , 只需证|ab -3|>|b -3a |,

即证(ab -3)2>(b -3a )2,

又(ab -3)2-(b -3a )2=a 2b 2-9a 2-b 2+9=(a 2-1)(b 2-9). 因为|a |<1,|b |<3,

所以(ab -3)2>(b -3a )2成立,

所以原不等式成立.

4.(2015·陕西卷)已知关于x 的不等式|x +a |(1)求实数a ,b 的值;

(2)求at +12+bt 的最大值.

解 (1)由|x +a |则???-b -a =2,b -a =4,解得?

??a =-3,b =1. (2)-3t +12+t =34-t +t ≤[(3)2+12][((4-t ))2+(t )2]

=24-t +t =4,

当且仅当4-t 3=t 1, 即t =1时等号成立,

故(-3t +12+t )max =4.

5.(2015·全国Ⅱ卷)设a ,b ,c ,d 均为正数,且a +b =c +d .证明:

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第2讲 1.设不等式|2x-1|<1 的解集为 M. (1)求集合 M; 不等式的证明 (2)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小. 解 (1)由|2x-1|<1 得-1<2x-1<1, 解得 0<x<1.所以 M={x|0<x<1}. (2)由(1)和 a,b∈M 可知 0<a<1,0<b<1, 所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0. 故 ab+1>a+b. 1 2.已知 a,b,c 均为正实数,且互不相等,且 abc=1,求证: a+ b+ c<a+ 1 1 b+c. 证明 法一 ∵a,b,c 均为正实数,且互不相等,且 abc=1, 1 bc+ 1 ca+ 1 1 1 1 1 1 + + + 1 b c c a a b 1 1 1 < + + ab 2 2 2 =a+b+c . ∴ a+ b+ c= 1 1 1 ∴ a+ b+ c<a+b+c . 1 1 法二 ∵a+b≥2 1 1 b+c≥2 1 ab=2 c; 1 ac=2 b. a+ b+ c. 1 1 1 bc=2 a;c +a≥2 1 1 1 ∴以上三式相加,得a+b+c≥ 1 1 1 又∵a,b,c 互不相等,∴a+b+c > a+ b+ c. 法三 ∵a,b,c 是不等正数,且 abc=1, bc+ca ca+ab ab+bc 1 1 1 ∴a+b+ c = bc+ ca + ab= 2 + 2 + 2 > abc2+ a2bc+ ab2c= a+ b+ c. 1 1 1 ∴ a+ b+ c<a+b+c . 3.(2017· 衡阳二联)已知函数 f(x)=|x-3|. (1)若不等式 f(x-1)+f(x)<a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围; (2)若|a|<1,|b|<3,且 a≠0,判断 f(ab) ?b? ?a?的大小,并说明理由. 与 f |a| ? ? 解 (1)因为 f(x-1)+f(x)=|x-4|+|x-3|≥|x-4+3-x|=1, 不等式 f(x-1)+f(x)<a 的解集为空集, 则 1≥a 即可, 所以实数 a 的取值范围是(-∞,1]. (2) f(ab) ?b? ? ? |a| >f?a?. f(ab) ?b? 证明:要证 |a| >f?a?, ? ? 只需证|ab-3|>|b-3a|, 即证(ab-3)2>(b-3a)2, 又(ab-3)2-(b-3a)2=a2b2-9a2-b2+9=(a2-1)(b2-9). 因为|a|<1,|b|<3, 所以(ab-3)2>(b-3a)2 成立, 所以原不等式成立. 4.(2015· 陕西卷)已知关于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4}. (1)求实数 a,b 的值; (2)求 at+12+ bt的最大值. 解 (1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a, ?-b-a=2, ?a=-3, 则? 解得? ?b-a=4, ?b=1. (2) -3t+12+ t= 3 4-t+ t ≤ [( 3)2+12][( (4-t))2+( t)2] =2 4-t+t=4, 当且仅当 4-t t =1, 3 即 t=1 时等号成立, 故( -3t+12+ t)max=4. 5.(2015· 全国Ⅱ卷)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d.证明: (1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d; (2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 证明 (1)因为( a+ b)2=a+b+2 ab, ( c+


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