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第8讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角

一、选择题

1.(2016·长沙模拟)在正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中,AC 与B 1D 所成的角的大小为( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为1,则A (0,0,0),C (1,1,0),B 1(1,0,1),D (0,1,0). ∴AC →=(1,1,0),B 1D →=(-1,1,-1),

∵AC →·B 1D →=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,

∴AC →⊥B 1D →,

∴AC 与B 1D 所成的角为π2.

答案 D

2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( ) A.32 B.33 C.35 D.25

解析 设正方体的棱长为1,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则B (1,1,0),B 1(1,1,1),A (1,0,0),C (0,1,0),D 1(0,0,1),

所以BB 1→=(0,0,1),AC →=(-1,1,0),AD 1

→=(-1,0,1). 令平面ACD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ·AC →=-x +y =0,n ·AD 1

→=-x +z =0,令x =1,可得n =(1,1,1),

所以sin θ=|cos 〈n ,BB 1→〉|=

13×1=33

. 答案 B 3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )

A.12

B.23

C.33

D.22 解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A -xyz ,设棱长为1,

则A 1(0,0,1),

E ? ??

??1,0,12,D (0,1,0), ∴A 1D →=(0,1,-1),

A 1E →=? ??

??1,0,-12, 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1=(1,y ,z ),所以有???A 1D →·n 1=0,

A 1E →·n 1=0,

即???y -z =0,1-12z =0,解得??

???y =2,

z =2. ∴n 1=(1,2,2).

∵平面ABCD 的一个法向量为n 2=(0,0,1),

∴ cos 〈n 1,n 2〉=23×1

=23. 即所成的锐二面角的余弦值为23.

答案 B

4.(2017·西安调研)已知六面体ABC -A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的

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第8讲 一、选择题 立体几何中的向量方法(二)——求空间角 1.(2016· 长沙模拟)在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,AC 与 B1D 所成的角的大小 为( π A. 6 解析 ) π B. 4 π C. 3 π D. 2 建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体边长为 1, 则 A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0). → =(1,1,0),B → ∴AC 1D=(-1,1,-1), → ·B → ∵AC 1D=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0, → ⊥B → ∴AC 1D, π ∴AC 与 B1D 所成的角为 2 . 答案 D 2.(2017· 郑州调研)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的正 弦值为( 3 A. 2 解析 ) 3 B. 3 3 C.5 2 D.5 设正方体的棱长为 1, 以 D 为坐标原点, DA, DC, DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,如 图所示.则 B(1,1,0),B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1, 0),D1(0,0,1), → =(0,0,1),AC → =(-1,1,0),AD → =(-1,0,1). 所以BB 1 1 → =-x+y=0,n· → =-x+z 令平面 ACD1 的法向量为 n=(x,y,z),则 n· AC AD 1 =0,令 x=1,可得 n=(1,1,1), → 所以 sin θ=|cos〈n,BB1〉|= 答案 B 1 3 =3. 3×1 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 E 为 BB1 的中点, 则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( 1 A.2 解析 2 B.3 ) 3 C. 3 2 D. 2 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,设棱长为 1, 则 A1(0,0,1), 1? ? E?1,0,2?,D(0,1,0), ? ? → ∴A 1D=(0,1,-1), 1? ? → A 1E=?1,0,-2?, ? ? 设 平 面 A1ED 的 一 个 法 向 量 为 ? ?y-z=0, ?y=2, 解得? ? 1 ?z=2. ?1-2z=0, ? ∴n1=(1,2,2). ∵平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1), 2 2 ∴ cos〈n1,n2〉= =3. 3×1 2 即所成的锐二面角的余弦值为3. 答案 B ?A→ 1D·n1=0, n1 = (1 , y , z) , 所 以 有 ? 即 → ?A1E·n1=0, 4.(2017· 西安调研)已知六面体 ABC-A1B1C1 是各棱长均等于 a 的 正三棱柱,D 是侧棱 CC1 的中点,则直线 CC1 与平面 AB1D 所成的角为( A.45° C.90° 解析 B.60° D.30° ) 如图所示,取 AC 的中点 N,以 N 为坐标原点,建立空间直角坐标系. a ? a ? a a? ? 3a ? ? ? ? ?,D?0,2,2?, 则 A?0,-2,0?,C?0,2,0?,B1? , 0 , a ? ? ? ? ? ? ? 2 ? a ? ? C1?0,2,a?, ? ? a? → 3a a ? → ? → =? ? ?,AD=?0,a,2?,CC ∴AB , , a 1 1=(0,0,a). ? ? 2 ? ? 2 设平面 AB1D 的法向量为 n=(x,y,z), →


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