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解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1.(本题满分12分)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区, AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=,∠BAE=,DE=3BC=3CD=km.

(1)求道路BE的长度;

(2)求生活区△ABE面积的最大值.

解:(1)如图,连接BD,在△BCD中,BD2=BC2

2BC·CD

cos∠BCD=,∴BD= km.

∵BC=CD,∴∠CDB=∠CBD==,

又∠CDE=,∴∠BDE=.

∴在Rt△BDE中,BE=BD2+DE2

==(km).

故道路BE的长度为 km.

(2)设∠ABE=α,∵∠BAE=,∴∠AEB=-α.

在△ABE中,易得====,

∴AB=sin,AE=sin α.

∴S△ABE=AB·AEsin=sinsin α=≤=(km2).

∵0<α<,∴-<2α-<.

∴当2α-=,即α=时,S△ABE取得最大值,最大值为 km2,故生活区△ABE面积的最大值为km2.

2.(本题满分12分)一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄(单位:岁)在[20,60]内的顾客中,随机抽取了180人,调查结果如下表:

某日该商场预计有12

000人(年龄在[20,60]内)购物,试根据上述数据估计该商场当天应准备多少个环保购物袋.

(2)某机构从被调查的使用移动支付的顾客中,按分层抽样的方式选出7人进行跟踪调查,并给其中2人赠送额外礼品,求获得额外礼品的2人的年龄都在[20,30)内的概率.

解:(1)由表可知,该日该商场使用移动支付的顾客人数与顾客总人数之比为7∶12,

若某日该商场有12 000人购物,则估计该商场要准备环保购物袋的个数为12 000×=7 000.

(2)由题知,抽样比为1∶15,所以应从年龄在[20,30)内的顾客中选出3人,[30,40)内的顾客中选出2人,[40,50)内的顾客中选出1人,[50,60]内的顾客中选出1人.

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