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第二节 矩形、菱形、正方形

姓名:________ 班级:________ 限时:______分钟

1.(2018·重庆A卷)下列命题正确的是(  )

A.平行四边形的对角线互相垂直平分

B.矩形的对角线互相垂直平分

C.菱形的对角线互相平分且相等

D.正方形的对角线互相垂直平分

2.(2018·舟山)用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是(  )

3.(2018·日照)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是(  )

A.AB=AD B.AC=BD

C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO

第3题图

4.(2018·湘潭)如图,已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是(  )

A.正方形 B.矩形

C.菱形 D.平行四边形

5.(2018·陕西)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、FG、GH和HE,若EH=2EF,则下列结论正确的是(  )

A.AB=EF B.AB=EF

C.AB=2EF D.AB=EF

6.(2018·恩施州) 如图所示,在正方形 ABCD中,G 为 CD边的中点,连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点,对角线 BD交 AG 于 F 点,已知 FG =2,则线段 AE 的长度为(  )

A.6 B. 8 C.10 D.12

7.(2018·内江)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE与AD交于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为(  )

A.31° B.28° C.62° D.56°

8.(2018·天水)如图所示,点O是矩形ABCD对角线AC的中点,OE∥AB交AD于点E.若OE=3,BC=8,则OB的长为(  )

A.4 B.5 C. D.

9.(2018·兰州)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BE∥DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长是(  )

A. B. C. D.

10.(2018·宿迁)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则△OCE的面积是(  )

A. B.2 C. 2 D.4

11.(2017·黔东南州)如图,正方形ABCD中,E为AB的中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于O,则∠DOC的度数为(  )

A. 60° B. 67.5° C. 75° D. 54°

12.(2018·龙东)如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件________, 使平行四边形ABCD是矩形.

13.(2018·南通)如图,在△ABC中,AD,CD分别平分∠BAC和∠ACB,AE∥CD,CE∥AD,若从三个条件:①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC中,选择一个作为已知条件,则能使四边形ADCE为菱形的是________(填序号).

14.(2018·湖州)如图,已知菱形ABCD,对角线AC,BD交于点O,若tan∠BAC=,AC=6,则BD的长是________.

15.(2018·天水)如图所示,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.若AC=6,BD=8,AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为________.

16.(2018·黔南州) 已知一个菱形的边长为2,较长的对角线长为2,则这个菱形的面积是________.

17.(2017·丹东)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,M、N分别为边AB、BC的中点,连接MN,若MN=1,BD=2,则菱形的周长为________.

18.(2018·深圳)如图,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且点E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是________.

19.(2018·南平质检)如图,正方形ABCD的面积为18,菱形AECF的面积为6,则菱形的边长为________.

20.(2018·莆田质检)如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD,中间阴影部分是一个小正方形EFGH,这样就组成一个“赵爽弦图”.若AB=5,AE=4,则正方形EFGH的面积为________.

21.(2018·郴州)如图,在?ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD、BC于E、F,连接BE,DF.

求证:四边形BFDE是菱形.

22.(2018·舟山) 如图,等边△AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.

求证:矩形ABCD是正方形.

23.(2018·建设兵团)如图, ?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE=CF,连接DE,BF.

(1)求证:△DOE≌△BOF;

(2)若BD=EF,连接EB,DF,判断四边形EBFD的形状,并说明理由.

24.(北师九上P27第11题改编)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是CD的中点,连接OE.过点C作BD的平行线交线段OE的延长线于点F,连接DF.

求证:(1)△ODE≌△FCE;

(2)四边形CODF是菱形.

25.(2018·南通)如图,?ABCD中,点E是BC的中点,连接AE并延长交DC延长线于点F.

(1)求证:CF=AB;

(2)连接BD、BF,当∠BCD=90°时,求证:BD=BF.

26.(2018·北京)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.

(1)求证:四边形ABCD是菱形;

(2)若AB=,BD=2,求OE的长.

1.(2018·建设兵团)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M、N分别是AB、BC边的中点,则MP+PN的最小值是(  )

A. B.1 C. D.2

2.(2018·武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数是________.

3.(2018·青岛)已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为________.

4.(2018·厦门质检)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.

(1)AB=2,AO=,求BC的长;

(2)∠DBC=30°,CE=CD,∠DCE<90°,若OE=BD,求∠DCE的度数.

5.(2018·扬州)如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.

(1)求证:四边形AEBD是菱形;

(2)若DC=,tan∠DCB=3,求菱形AEBD的面积.

6. (2018·白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.

(1)求证:△BGF ≌△FHC;

(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.

参考答案

【基础训练】

1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.D 7.D 8.B 9.C 10.A

11.A 

【解析】如解图,连接BF,∵点E为AB的中点,∴AB=2AE,∵AF=2AE,∴cos∠FAE=,∴∠FAE=60°,∴△ABF是等边三角形,∴∠ABF=60°,BF=AB,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,∴∠FBC=∠ABF+∠ABC=150°,BF=BC,∴∠BCF=∠BFC=×(180°-150°)=15°,∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠DBC=45°,∴∠DOC=∠DBC+∠BCF=45°+15°=60°.

12.AC=BD(答案不唯一) 13.② 14.2 15. 16.2

17.8 18.8 19. 20.1

21.证明:∵EF垂直平分BD,∴EB=ED,

∴∠EDB=∠EBD,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠EBD=∠FBD,

∴△EBO≌△FBO,∴EO=OF,

∴EF与BD互相垂直平分,∴四边形BFDE是菱形.

22.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=∠C=90°,

∵△AEF是等边三角形,

∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°,

又∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°,

∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°,

∴△ABE≌△ADF(AAS),∴AB=AD,

∴矩形ABCD是正方形.

23.(1)证明:∵ ?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,

∴OA=OC,OB=OD.

∵AE=CF,∴OE=OF.

在△DOE与△BOF中,

∴△DOE≌△BOF;

(2)解:四边形EBFD是矩形.理由:∵OB=OD,OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形,

∵BD=EF,∴ ?EBFD是矩形.

24.证明:(1)∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE,

∵E是CD的中点,∴CE=DE,

在△ODE和△FCE中,

∴△ODE≌△FCE(ASA);

(2)由(1)知△ODE≌△FCE.∴OD=FC,

∵CF∥BD,∴四边形CODF是平行四边形,

∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD,

∴四边形CODF是菱形.

25.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥DF,∴∠BAE=∠CFE,

∵BE=CE,∠AEB=∠CEF,

∴△AEB≌△FEC,∴AB=CF.

(2)连接AC.

∵四边形ABCD是平行四边形,∠BCD=90°,

∴四边形ABCD是矩形,∴BD=AC,

∵AB=CF,AB∥CF,

∴四边形ACFB是平行四边形,

∴BF=AC,∴BD=BF.

26.(1)证明:∵AB∥CD,

∴∠CAB= ∠ACD.

∵AC平分∠BAD,

∴∠CAB=∠CAD,

∴∠CAD=∠ACD,∴ AD=CD.

又∵AD=AB,∴AB=CD.

又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,

又∵AB=AD,∴?ABCD是菱形.

(2)解:∵四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD交于点O.

∴AC⊥BD.OA=OC=AC,OB=OD=BD=1,

在Rt△AOB中,∠AOB=90° .∴OA==2.

∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°.

在Rt△AEC中,∵∠AEC=90°,O为AC的中点.

∴OE=AC=OA=2.

【拔高训练】

1.B

2.30°或150°  【解析】 分两种情况:①如解图①,等边△ADE在正方形ABCD内部:∠CDE=∠CDA-∠ADE=90°-60°=30°,∵CD=DE,∴∠DCE=75°,∴∠ECB=15°,同理可得∠EBC=15°,∴∠BEC=150°.

②如解图②,等边△ADE在正方形ABCD外部:

∠CDE=∠CDA+∠ADE=90°+60°=150°,∵CD=DE,∴∠CED=15°,同理∠AEB=15°,∴∠BEC=∠AED-∠CED-∠AEB=60°-15°-15°=30°.

第2题解图① 第2题解图②

3.  【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠D=90°.又∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF,∴∠ABE=∠DAF.∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=180°-90°=90°,∴∠DAF+∠AEB=90°,∴∠AGE=180°-90°=90°,∴∠BGF=90°.在Rt△BGF中,点H为BF的中点,∴GH=BF.在Rt△BFC中,BC=5,CF=CD-DF=5-2=3,根据勾股定理得BF=

∴GH=.

4.解: (1)∵四边形ABCD是矩形,

∴∠ABC=90°,AC=2AO=2.

在Rt△ACB中,BC==4.

(2)∵四边形ABCD是矩形,

∴∠DCB=90°,BD=2OD,AC=2OC,AC=BD.

∴OD=OC=BD.

∵∠DBC=30°,∴在Rt△BCD中,CD=BD.

∵CE=CD,∴CE=BD.

∵OE=BD,∴在△OCE中,OE2=BD2.

又∵OC2+CE2=BD2+BD2=BD2,

∴OC2+CE2=OE2,∴∠OCE=90°.

∵OD=OC,

∴∠OCD=∠ODC=60°.

∴∠DCE=∠OCE-∠OCD=30°.

5.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,

∴∠ADE=∠BED.

∵点F是AB的中点,

∴AF=BF,又∵∠AFD=∠BFE,

∴△ADF≌△BEF,∴AD=BE,

又∵AD∥BC,∴四边形AEBD是平行四边形.

∵DA=DB,∴平行四边形AEBD是菱形;

(2)∵平行四边形AEBD是菱形,∴AB⊥ED.

∵AB∥CD,∴ED⊥CD.

在Rt△CDE中,tan∠DCB=3,DC=,∴DE=3

∵AB=CD=

∴菱形AEBD的面积=AB·ED=××3=15.

6.(1)证明:∵点F,H分别是BC,CE的中点,

∴FH∥BE,FH=BE.∴∠CFH=∠CBG.

又∵点G是BE的中点,∴FH=BG.

又∵BF=CF,∴△BGF≌ △FHC.

(2)解:当四边形EGFH是正方形时,可知EF⊥GH且EF=GH.

∵在△BEC中,点G,H分别是BE,EC的中点,

∴ GH=BC=AD=a,且GH∥BC,∴EF⊥BC.

又∵AD∥BC, AB⊥BC,∴AB=EF=GH=a,

∴S矩形ABCD=AB·AD=a·a=a2.

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