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金沙国际娱乐平台专题突破三 金沙国际娱乐平台中的数列问题

【考点自测】

1.(2017·洛阳模拟)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则

等于(  )

A.2 B.3 C.5 D.7

答案 B

解析 ∵在等差数列{an}中,a2,a4,a8成等比数列,∴a

=a2a8,∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),∴d2=a1d,

∵d≠0,∴d=a1,∴

=3.故选B.

2.(2018·衡水调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列

的前100项和为(  )

A.

B.

C.

D.

答案 A

解析 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.

∵a5=5,S5=15,∴

∴an=a1+(n-1)d=n.

∴数列

的前100项和为

+…+

=1-

.

3.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(  )

A.6 B.7 C.8 D.9

答案 D

解析 由题意知a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.在a,b,-2这三个数的6种排序中,成等差数列的情况有:a,b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比数列的情况有:a,-2,b;b,-2,a.

解得

∴p=5,q=4,∴p+q=9,故选D.

4.(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1·a6·a11=3

,b1+b6+b11=7π,则tan

的值是(  )

A.1 B.

C.-

D.-

答案 D

解析 {an}是等比数列,{bn}是等差数列,且a1·a6·a11=3

,b1+b6+b11=7π,∴a

=(

)3,3b6=7π,∴a6=

,b6=

∴tan

=tan

=tan

=tan

=tan

=-tan

=-

.

5.(2018·保定模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*都有Sn=

an-

,若1答案 4

解析 由题意,Sn=

an-

当n≥2时,Sn-1=

an-1-

两式相减,得an=

an-

an-1,

∴an=-2an-1,

又a1=-1,

∴{an}是以-1为首项,以-2为公比的等比数列,

∴an=-(-2)n-1,

∴Sk=

由1又k∈N*,∴k=4.

题型一 等差数列、等比数列的综合问题

例1 (2016·四川)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n 项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.

(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;

(2)设双曲线x2-

=1的离心率为en,且e2=2,求e

+e

+…+e

.

解 (1)由已知,Sn+1=qSn+1,得Sn+2=qSn+1+1,两式相减得an+2=qan+1,n≥1.

又由S2=qS1+1得a2=qa1,

故an+1=qan对所有n≥1都成立.

所以数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列,

从而an=qn-1.

由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3,

所以a3=2a2,故q=2.

所以an=2n-1(n∈N*).

(2)由(1)可知,an=qn-1,

所以双曲线x2-

=1的离心率en=

.

由e2=

=2,解得q=

所以e

+e

+…+e

=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)]

=n+[1+q2+…+q2(n-1)]

=n+

=n+

(3n-1).

思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略

(1)分析已知条件和求解目标,为最终解决问题设置中间问题,例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.

(2)注意细节:在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.

跟踪训练1 (2018·沧州模拟)已知首项为

的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设Tn=Sn-

(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.

解 (1)设等比数列{an}的公比为q,

因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,

所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,

于是q2=

.

又{an}不是递减数列且a1=

,所以q=-

.

故等比数列{an}的通项公式为an=

×

n-1

=(-1)n-1·

.

(2)由(1)得Sn=1-

n=

当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,

所以1

故0

≤S1-

.

当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,

所以

=S2≤Sn<1,

故0>Sn-

≥S2-

=-

.

综上,对于n∈N*,总有-

≤Sn-

.

所以数列{Tn}的最大项的值为

,最小项的值为-

.

题型二 数列的通项与求和

例2 (2018·邢台模拟)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=(-1)n-1

,求数列{bn}的前n项和Tn.

解 (1)因为S1=a1,S2=2a1+

×2=2a1+2,

S4=4a1+

×2=4a1+12,

由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),

解得a1=1,所以an=2n-1.

(2)bn=(-1)n-1

=(-1)n-1

=(-1)n-1

.

当n为偶数时,

Tn=

+…+

=1-

.

当n为奇数时,Tn=

+…-

=1+

.

所以Tn=

(或Tn=

)

思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列,此时从要证的结论出发,这是很重要的解题信息.

(2)根据数列的特点选择合适的求和方法,常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等.

跟踪训练2 (2018·大连模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=

,an+1=

an(n∈N*).

(1)证明:数列

是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.

(1)证明 ∵a1=

,an+1=

an,

当n∈N*时,

≠0,

(n∈N*)为常数,

是以

为首项,

为公比的等比数列.

(2)解 由

是以

为首项,

为公比的等比数列,

·

n-1,∴an=n·

n.

∴Sn=1·

+2·

2+3·

3+…+n·

n,

Sn=1·

2+2·

3+…+(n-1)

n+n·

n+1,

∴两式相减得

Sn=

2+

3+…+

n-n·

n+1=

-n·

n+1,

∴Sn=2-

n-1-n·

n

=2-(n+2)·

n.

综上,an=n·

n,Sn=2-(n+2)·

n.

题型三 数列与其他知识的交汇

命题点1 数列与函数的交汇

例3 (2018·长春模拟)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).

(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;

(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-

,求数列

的前n项和Tn.

解 (1)由已知,得b7=,b8==4b7,

=4×

解得d=a8-a7=2,

所以Sn=na1+

d=-2n+n(n-1)=n2-3n.

(2)f′(x)=2xln 2,f′(a2)=ln 2,

故函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-ln 2(x-a2),

它在x轴上的截距为a2-

.

由题意,得a2-

=2-

解得a2=2,

所以d=a2-a1=1.

从而an=n,bn=2n,

.

所以Tn=

+…+

2Tn=

+…+

.

两式相减,得

2Tn-Tn=1+

+…+

=2-

.

所以Tn=

.

命题点2 数列与不等式的交汇

例4 (2016·天津)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d,对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.

(1)设cn=b

-b

,n∈N*,求证:数列{cn}是等差数列;

(2)设a1=d,Tn=

(-1)kb

,n∈N*,求证:

<

.

证明 (1)由题意得b

=anan+1,

cn=b

-b

=an+1an+2-anan+1=2dan+1.

因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,

所以{cn}是等差数列.

(2)Tn=(-b

+b

)+(-b

+b

)+…+(-b

+b

)

=2d(a2+a4+…+a2n)

=2d·

=2d2n(n+1).

所以

·

<

.

命题点3 数列应用题

例5 某企业为了进行技术改造,设计了两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中哪种获利更多?(参考数据:取1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)

解 甲方案中,每年所获利润组成等比数列,首项为1,公比为(1+30%),所以10年所获得的总利润为

S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9

≈42.62(万元),

贷款到期时,需要偿还银行的本息是

10(1+5%)10≈16.29(万元),

故使用甲方案所获纯利润为42.62-16.29=26.33(万元).

乙方案中,每年的利润组成等差数列,首项为1,公差为0.5,

所以10年所获得的总利润为

T10=1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)

=10×1+

×0.5=32.5(万元),

从第一年起,每年的贷款在到期时所产生的本息组成等比数列,首项为1×(1+5%)10万元,公比为

故贷款到期时,需要偿还银行的本息是

1×[(1+5%)10+(1+5%)9+…+(1+5%)]

=1.05×

≈13.21(万元),

故使用乙方案所获纯利润为32.5-13.21=19.29(万元).

综上可知,甲方案获利更多.

思维升华 数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略

(1)数列与函数的交汇问题

①已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题;

②已知数列条件,解决函数问题,解题时要注意数列与函数的内在联系,掌握递推数列的常见解法.

(2)数列与不等式的交汇问题

①函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式;

②放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到;

③比较方法:作差或者作商比较.

(3)数列应用题

①根据题意,确定数列模型;

②准确求解模型;

③问题作答,不要忽视问题的实际意义.

跟踪训练3 (2018·烟台模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),且f′(0)=2n,n∈N*,数列{an}满足

=f′

,且a1=4.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记bn=

,求数列{bn}的前n项和Tn.

解 (1)f′(x)=2ax+b,由题意知b=2n,

16n2a-4nb=0,

∴a=

则f(x)=

x2+2nx,n∈N*.

数列{an}满足

=f′

又f′(x)=x+2n,

+2n,∴

=2n,

由叠加法可得

=2+4+6+…+2(n-1)=n2-n,

化简可得an=

(n≥2),

当n=1时,a1=4也符合,

∴an=

(n∈N*).

(2)∵bn=

=2

∴Tn=b1+b2+…+bn

+…+

=2

=2

.

1.(2018·泰安模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=

,a3=

,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.

(1)求a4的值;

(2)证明:

为等比数列;

(3)求数列{an}的通项公式.

(1)解 当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,

即4

+5

=8

+1,

解得a4=

.

(2)证明 因为4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),

所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),

即4an+2+an=4an+1 (n≥2),

当n=1时,4a3+a1=4×

+1=6=4a2,

所以n=1也满足此式,

所以4an+2+an=4an+1 (n∈N*),

因为

所以数列

是以a2-

a1=1为首项,

为公比的等比数列.

(3)解 由(2)知:数列

是以a2-

a1=1为首项,

为公比的等比数列,

所以an+1-

an=

n-1.

=4,

所以数列

是以

=2为首项,4为公差的等差数列,所以

=2+(n-1)×4=4n-2,

即an=(4n-2)×

n=(2n-1)×

n-1,

所以数列{an}的通项公式是an=(2n-1)×

n-1.

2.(2017·福建漳州八校联考)已知递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2和a4的等差中项.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=anan,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n·2n+1>62成立的正整数n的最小值.

解 (1)由题意,得

解得

∵{an}是递增数列,∴a1=2,q=2,

∴数列{an}的通项公式为an=2·2n-1=2n.

(2)∵bn=anan=2n·2n=-n·2n,

∴Sn=b1+b2+…+bn=-(1×2+2×22+…+n·2n),①

则2Sn=-(1×22+2×23+…+n·2n+1),②

②-①,得Sn=(2+22+…+2n)-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,

则Sn+n·2n+1=2n+1-2,

解2n+1-2>62,得n>5,

∴n的最小值为6.

3.(2018·梅州质检)已知正项数列{an}中,a1=1,点(

,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上,数列{bn}的前n项和Sn=2-bn.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)设cn=

,求{cn}的前n项和Tn.

解 (1)∵点(

,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上,

∴an+1=an+1,∴数列{an}是公差为1的等差数列.

∵a1=1,∴an=1+(n-1)×1=n,

∵Sn=2-bn,∴Sn+1=2-bn+1,

两式相减,得bn+1=-bn+1+bn,即

由S1=2-b1,即b1=2-b1,得b1=1.

∴数列{bn}是首项为1,公比为

的等比数列,

∴bn=

n-1.

(2)∵log2bn+1=log2

n=-n,

∴cn=

∴Tn=c1+c2+…+cn=

+…+

=1-

.

4.(2018·佛山模拟)在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn;

(3)是否存在k∈N*,使得

+…+

解 (1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,

∴a

+2a3a5+a

=25,∴(a3+a5)2=25,

又an>0,∴a3+a5=5,

又a3与a5的等比中项为2,

∴a3a5=4,而q∈(0,1),

∴a3>a5,∴a3=4,a5=1,

∴q=

,a1=16,

∴an=16×

n-1=25-n.

(2)∵bn=log2an=5-n,

∴bn+1-bn=-1,

b1=log2a1=log216=log224=4,

∴{bn}是以b1=4为首项,-1为公差的等差数列,

∴Sn=

.

(3)由(2)知Sn=

,∴

.

当n≤8时,

>0;当n=9时,

=0;

当n>9时,

<0.

∴当n=8或n=9时,

+…+

=18最大.

故存在k∈N*,使得

+…+

5.(2017·天津滨海新区八校联考)已知数列{an},{bn},Sn为数列{an}的前n项和,a2=4b1,Sn=2an-2,nbn+1-(n+1)bn=n2+n(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)证明:

为等差数列;

(3)若数列{cn}的通项公式为cn=

令Tn为{cn}的前n项和,求T2n.

(1)解 当n>1时,

则an=2an-2an-1,

=2.

当n=1时,S1=2a1-2,得a1=2,

综上,{an}是公比为2,首项为2的等比数列,an=2n.

(2)证明 ∵a2=4b1,∴b1=1.

∵nbn+1-(n+1)bn=n2+n,

=1,

综上,

是公差为1,首项为1的等差数列,

=1+n-1,可得bn=n2.

(3)解 令pn=c2n-1+c2n

=-

=(4n-1)·22n-2=(4n-1)·4n-1.

①-②,得-3T2n=3·40+4·41+4·42+…+4·4n-1-(4n-1)·4n,

∴-3T2n=3+

-(4n-1)·4n

∴T2n=

·4n.

6.已知数列{an},{bn},其中,a1=

,数列{an}满足(n+1)an=(n-1)an-1 (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足b1=2,bn+1=2bn.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)是否存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1+

+…+

<

恒成立?若存在,求出m的最小值;

(3)若数列{cn}满足cn=

求数列{cn}的前n项和Tn.

解 (1)由(n+1)an=(n-1)an-1,

(n≥2).

又a1=

所以an=

·

·

·…·

·

·a1

·

·

·…·

·

·

.

当n=1时,上式成立,故an=

.

因为b1=2,bn+1=2bn,

所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,

故bn=2n.

(2)由(1)知,bn=2n,则

1+

+…+

=1+

+…+

=2-

.

假设存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1+

+…+

<

恒成立,即2-

<

恒成立,由

≥2,解得m≥16.

所以存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有1+

+…+

<

恒成立,此时,m的最小值为16.

(3)当n为奇数时,

Tn=

+(b2+b4+…+bn-1)

=[2+4+…+(n+1)]+(22+24+…+2n-1)

·

(2n-1-1);

当n为偶数时,

Tn=

+(b2+b4+…+bn)

=(2+4+…+n)+(22+24+…+2n)

·

(2n-1).

所以Tn=

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金沙国际娱乐平台专题突破三 【考点自测】 金沙国际娱乐平台中的数列问题 1.(2017· 洛阳模拟)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于 0,且 a2,a4,a8 成等比数列, 则 a1+a5+a9 等于( a2+a3 ) A.2 B.3 C.5 D.7 答案 B 2 解析 ∵在等差数列{an}中,a2,a4,a8 成等比数列,∴a2 4=a2a8,∴(a1+3d) =(a1+d)(a1+ 7d),∴d2=a1d, a1+a5+a9 15a1 ∵d≠0,∴d=a1,∴ = =3.故选 B. 5a1 a2+a3 ? 1 ? 2.(2018· 衡水调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的前 ? n n+1? 100 项和为( 100 A. 101 99 C. 100 答案 A ) 99 B. 101 101 D. 100 解析 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ?a +4d=5, ∵a =5,S =15,∴? 5×?5-1? 5 a + d=15, ? 2 1 5 5 1 ? ?a1=1, ∴? ? ?d=1, ∴an=a1+(n-1)d=n. ∴ 1 1 1 = = - , n anan+1 n?n+1? n+1 ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 100 ?的前 100 项和为?1- ?+? - ?+…+? - ?=1- = . 2 2 3 100 101 ? ? ? ? ? ? a a 101 101 + ? n n 1? ? ? 1 ∴数列? 1 3.若 a,b 是函数 f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个数 可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于( A.6 B.7 C.8 D.9 ) 答案 D 解析 由题意知 a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.在 a,b,-2 这三个数的 6 种排序中,成等差数列的情况有:a,b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比 数列的情况有:a,-2,b;b,-2,a. ? ? ? ? ?ab=4, ?ab=4, ?a=4, ?a=1, ∴? 或? 解得? 或? ?2b=a-2 ?2a=b-2, ?b=1 ? ? ? ? ?b=4. ∴p=5,q=4,∴p+q=9,故选 D. 4 . (2017· 江西高安中学等九校联考 ) 已知数列 {an} 是等比数列,数列 {bn} 是等差数列,若 a1· a6· a11=3 3,b1+b6+b11=7π,则 tan A.1 C.- 2 2 B. b3+b9 的值是( 1-a4· a8 ) 2 2 D.- 3 答案 D 3 解析 {an}是等比数列, {bn}是等差数列, 且 a1· a6· a11=3 3, b1+b6+b11=7π, ∴a6 =( 3)3,3b6 7π =7π,∴a6= 3,b6= , 3 b3+b9 2b6 7π 2× 3 ∴tan =tan =tan 1-a4· a8 1-a2 1-? 3?2 6 7π π π - ?=tan?-2π- ?=-tan =- 3. =tan? 3 3 ? ? ? ? 3 2 1 5.(2018· 保定模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*都有 Sn= an- ,若 1<Sk<9 3 3 (k∈N*),则 k 的值为________. 答案 4 2 1 解析 由题意,Sn= an- , 3


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