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第3讲 基本不等式及其应用

一、选择题

1.下列不等式一定成立的是( )

A.lg ? ??

??x 2+14>lg x (x >0) B.sin x +1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C.x 2+1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2

+1<1(x ∈R ) 解析 当x >0时,x 2+14≥2·x ·12=x ,所以lg ? ??

??x 2+14≥lg x (x >0),故选项A 不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确;由基本不等式可知,选项C 正确;当x =0时,有

1x 2+1=1,故选项D 不正确. 答案 C

2.若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是( )

A.[0,2]

B.[-2,0]

,+∞)

D.(-∞,-2]

解析 22

x +y ≤2x +2y =1,所以2x +y ≤14,即2x +y ≤2-2,所以x +y ≤-2.

答案 D 3.(2016·合肥二模)若a ,b 都是正数,则? ????1+b a ·? ??

??1+4a b 的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10

解析 ∵a ,b 都是正数,∴? ????1+b a ? ??

??1+4a b =5+b a +4a b ≥5+2b a ·4a

b =9,当且仅当b =2a >0时取等号.故选C.

答案 C

4.若a >0,b >0,且a +b =4,则下列不等式恒成立的是( )

A.1ab ≤14

B.1a +1b ≤1

C.ab ≥2

D.a 2+b 2≥8

解析 4=a +b ≥2ab (当且仅当a =b 时,等号成立),即ab ≤2,ab ≤4,1ab ≥

1

4,选项A,C不成立;1

a+

1

b=

a+b

ab=

4

ab≥1,选项B不成立;a

2+b2=(a+b)2

16-2ab≥8,选项D成立. 答案 D

5.(2015·湖南卷)若实数a,b满足1

a+

2

b=ab,则ab的最小值为()

A. 2

B.2

C.2 2

D.4

解析依题意知a>0,b>0,则1

a+

2

b≥2

2

ab=

22

ab

,当且仅当

1

a=

2

b,即b=

2a时,“=”成立.

因为1

a+

2

b=ab,所以ab≥

22

ab

,即ab≥22,

所以ab的最小值为22,故选C.

答案 C

6.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()

A.4

3 B.

5

3 C.2 D.

5

4

解析由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2·(2x)·(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),∴12xy+3xy≤30,即xy≤2,∴xy的最大值为2.

答案 C

7.(2017·安庆二模)已知a>0,b>0,a+b=1

a+

1

b,则

1

a+

2

b的最小值为()

A.4

B.22

C.8

D.16

解析由a>0,b>0,a+b=1

a+

1

b=

a+b

ab,得ab=1,

则1

a+

2

b≥2

1

2

b=2 2.当且仅当

1

a=

2

b,即a=

2

2,b=2时等号成立.故选B.

答案 B

8.(2017·福州六校联考)已知函数f(x)=x+a

x+2的值域为(-∞,0]∪[4,+∞),

则a的值是()

A.1

2 B.

3

2 C.1 D.2

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第3讲 一、选择题 1.下列不等式一定成立的是( 1? ? A.lg?x2+4?>lg x(x>0) ? ? C.x2+1≥2|x|(x∈R) 解析 基本不等式及其应用 ) 1 B.sin x+sin x≥2(x≠kπ ,k∈Z) D. 1 <1(x∈R) x +1 2 1? 1 1 ? 当 x>0 时,x2+4≥2·x·2=x,所以 lg?x2+4?≥lg x(x>0),故选项 A ? ? 不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当 x≠k π,k∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项 B 不正确;由基本不等式可知,选项 C 正确;当 x=0 时,有 答案 C ) 1 =1,故选项 D 不正确. x +1 2 2.若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,2] C.[-2,+∞) 解析 答案 B.[-2,0] D.(-∞,-2] 1 2 2x+y≤2x+2y=1,所以 2x+y≤4,即 2x+y≤2-2,所以 x+y≤-2. D ) b? ? 4a? ? 3.(2016· 合肥二模)若 a,b 都是正数,则?1+a?·?1+ b ?的最小值为( ? ? ? ? A.7 解析 B.8 C.9 D.10 b?? 4a? b 4a ? ∵a,b 都是正数,∴?1+a??1+ b ?=5+a+ b ≥5+2 ? ?? ? b 4a a· b =9,当 且仅当 b=2a>0 时取等号.故选 C. 答案 C ) 4.若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是( 1 1 A.ab≤4 C. ab≥2 解析 1 1 B.a+b≤1 D.a2+b2≥8 1 4=a+b≥2 ab(当且仅当 a=b 时, 等号成立), 即 ab≤2, ab≤4, ab≥ 1 1 1 a+b 4 2 2 2 ,选项 A , C 不成立; 4 a+b= ab =ab≥1,选项 B 不成立;a +b =(a+b) -2ab=16-2ab≥8,选项 D 成立. 答案 D ) 1 2 5.(2015· 湖南卷)若实数 a,b 满足a+b= ab,则 ab 的最小值为( A. 2 解析 B.2 C.2 2 D.4 1 2 依题意知 a>0,b>0,则a+b≥2 2 2 2 1 2 ab= ab,当且仅当a=b,即 b= 2a 时, “=”成立. 1 2 2 2 因为a+b= ab,所以 ab≥ ,即 ab≥2 2, ab 所以 ab 的最小值为 2 2,故选 C. 答案 C ) 6.若正数 x,y 满足 4x2+9y2+3xy=30,则 xy 的最大值是( 4 A.3 解析 5 B.3 C.2 5 D.4 由 x>0,y>0,得 4x2+9y2+3xy≥2· (2x)· (3y)+3xy(当且仅当 2x=3y 时 等号成立),∴12xy+3xy≤30,即 xy≤2,∴xy 的最大值为 2. 答案 C ) 1 1 1 2 7.(2017· 安庆二模)已知 a>0,b>0,a+b=a+b,则a+b的最小值为( A.4 解析 B.2 2 C.8 D.16 1 1 a+b 由 a>0,b>0,a+b=a+b= ab ,得 ab=1, 1 2 1 2 2 a·b=2 2.当且仅当a=b,即 a= 2 ,b= 2时等号成立.故选 B. 1 2 则a+b≥2 答案 B a 8.(2017· 福州六校联考)已知函数 f(x)=x+ x+2 的值域为(-∞,0]∪[4,+∞), 则 a 的值是( 1 A.2


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