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专项突破练7 二次函数压轴题

1.(2018四川达州)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价的九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.

(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?

(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?

解(1)设进价为x元,则标价是1.5x元,由题意得

1.5x×0.9×8-8x=(1.5x-100)×7-7x,

解得x=1 000,1.5×1 000=1 500(元),

答:进价为1 000元,标价为1 500元;

(2)设该型号自行车降价a元,利润为w元,由题意得w=(1 500-1 000-a),

=-(a-80)2+26 460,

∵-<0,∴当a=80时,w最大=26 460,

答:该型号自行车降价80元出售每月获利最大,最大利润是26 460元.

2.(2018福建)如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.

(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;

(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.

解(1)设AB=x m,则BC=(100-2x)m,

根据题意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45,

当x=5时,100-2x=90>20,不合题意舍去;

当x=45时,100-2x=10,答:AD的长为10 m.

(2)设AD=x m,

∴S=x(100-x)=-(x-50)2+1 250,

当a≥50时,则x=50时,S的最大值为1 250;

当0a2,

综上所述,当a≥50时,S的最大值为1250;当0a2.

3.(2018甘肃定西)如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.

(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式;

(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP'C.若四边形POP'C为菱形,请求出此时点P的坐标;

(3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.

解(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式,得解得

二次函数的解析是为y=-x2+2x+3.

(2)若四边形POP'C为菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上,

图1

如图1,连接PP',则PE⊥CO,垂足为E,

∵C(0,3),

∴E,

∴点P的纵坐标,当y=时,

即-x2+2x+3=,

解得x1=,x2=(不合题意,舍),∴点P的坐标为.

图2

(3)如图2,

P在抛物线上,设P(m,-m2+2m+3),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

将点B和点C的坐标代入函数解析式,得解得

直线BC的解析为y=-x+3,过点P作x轴的垂线,交BC于点Q,交x轴于点F,

设点Q的坐标为(m,-m+3),

PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.

当y=0时,-x2+2x+3=0,

解得x1=-1,x2=3,OA=1,AB=3-(-1)=4,

S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

=AB·OC+PQ·OF+PQ·FB

=×4×3+(-m2+3m)×3

=-,

当m=时,四边形ABPC的面积最大.

当m=时,-m2+2m+3=,即P点的坐标为.

当点P的坐标为时,四边形ACPB的最大面积值为.

4.(2018湖南怀化)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;

(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;

(3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

解(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),

即y=ax2-2ax-3a,

∴-2a=2,解得a=-1,

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3;

当x=0时,y=-x2+2x+3=3,则C(0,3),

设直线AC的解析式为y=px+q,

把A(-1,0),C(0,3)代入得解得∴直线AC的解析式为y=3x+3.

(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

∴顶点D的坐标为(1,4),

作B点关于y轴的对称点B',连接DB'交y轴于M,如图1,则B'(-3,0),

∵MB=MB',

∴MB+MD=MB'+MD=DB',此时MB+MD的值最小,而BD的值不变,

∴此时△BDM的周长最小,

易得直线DB'的解析式为y=x+3,

当x=0时,y=x+3=3,

∴点M的坐标为(0,3).

(3)存在.

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,

∵直线AC的解析式为y=3x+3,

∴直线PC的解析式可设为y=-x+b,

把C(0,3)代入得b=3,

∴直线PC的解析式为y=-x+3,

解方程组解得则此时P点坐标为;

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=-x+b,

把A(-1,0)代入得+b=0,解得b=-,

∴直线PC的解析式为y=-x-,

解方程组解得则此时P点坐标为,综上所述,符合条件的点P的坐标为.

5.(2018上海)在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和点B,顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.

(1)求这条抛物线的表达式;

(2)求线段CD的长;

(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O,D,E,M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.

解(1)把A(-1,0)和点B代入y=-x2+bx+c得解得

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+.

(2)∵y=-(x-2)2+,

∴C,抛物线的对称轴为直线x=2,

如图,设CD=t,

则D,

∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处,

∴∠PDC=90°,DP=DC=t,

∴P,

把P代入y=-x2+2x+得-(2+t)2+2(2+t)+-t,

整理得t2-2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,

∴线段CD的长为2.

(3)P点坐标为,D点坐标为,

∵抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,∴抛物线向左平移2个单位,向下平移个单位,

而P点向左平移2个单位,向下平移个单位得到点E,

∴E点坐标为(2,-2),设M(0,m),

当m>0时,·2=8,

解得m=,此时M点坐标为;

当m<0时,·2=8,解得m=-,此时M点坐标为;

综上所述,M点的坐标为.

6.(2018广西南宁)如图,抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点,其中A(-3,0),C(0,4),点B在x轴上,AC=BC,过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点,且CM=BN,连接MN,AM,AN.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;

(2)当△CMN是直角三角形时,求点M的坐标;

(3)试求出AM+AN的最小值.

解(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得解得

∴抛物线解析式为y=-x2+x+4;

∵AC=BC,CO⊥AB,

∴OB=OA=3,∴B(3,0),

∵BD⊥x轴交抛物线于点D,

∴D点的横坐标为3,

当x=3时,y=-×9+×3+4=5,

∴D点坐标为(3,5).

(2)在Rt△OBC中,BC==5,

设M(0,m),则BN=4-m,CN=5-(4-m)=m+1,∵∠MCN=∠OCB,

∴当时,△CMN∽△COB,则∠CMN=∠COB=90°,即,解得m=,此时M点坐标为;

时,△CMN∽△CBO,

则∠CNM=∠COB=90°,即,解得m=,此时M点坐标为;

综上所述,M点的坐标为.

(3)连接DN,AD,如图,

∵AC=BC,CO⊥AB,

∴OC平分∠ACB,

∴∠ACO=∠BCO,

∵BD∥OC,∴∠BCO=∠DBC,

∵DB=BC=AC=5,CM=BN,

∴△ACM≌△DBN,∴AM=DN,

∴AM+AN=DN+AN,

而DN+AN≥AD(当且仅当点A,N,D共线时取等号),

∴DN+AN的最小值=,

∴AM+AN的最小值为.

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