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第1讲 坐标系

1.在极坐标系下,已知圆O :ρ=cos θ+sin θ和直线l :ρsin ?

????θ-π4=22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程;

(2)当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.

解 (1)圆O :ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,

圆O 的直角坐标方程为:x 2+y 2=x +y ,

即x 2+y 2-x -y =0,

直线l :ρsin ?

????θ-π4=22, 即ρsin θ-ρcos θ=1,

则直线l 的直角坐标方程为:y -x =1,即x -y +1=0.

(2)由???x 2+y 2-x -y =0,x -y +1=0,得???x =0,y =1,

故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为?

????1,π2. 2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ=21-sin θ

. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ,Q ,若|OP |=3|OQ |,求直线l 的极坐标方程.

解 (1)∵ρ=x 2+y 2,ρsin θ=y ,

∴ρ=21-sin θ

化为ρ-ρsin θ=2, ∴曲线的直角坐标方程为x 2=4y +4.

(2)设直线l 的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R ),

根据题意21-sin θ0=3·21-sin (θ0+π)

, 解得θ0=π6或θ0=5π6,

直线l 的极坐标方程θ=π6(ρ∈R )或θ=5π6(ρ∈R ).

3.在极坐标系中,求曲线ρ=2cos θ关于直线θ=π4对称的曲线的极坐标方程.

解 以极点为坐标原点,极轴为x 轴建立直角坐标系,则曲线ρ=2cos θ的直

角坐标方程为(x -1)2+y 2

=1,且圆心为(1,0).直线θ=π4的直角坐标方程为y =x ,因为圆心(1,0)关于y =x 的对称点为(0,1),

所以圆(x -1)2+y 2=1关于y =x 的对称曲线为x 2+(y -1)2=1.

所以曲线ρ=2cos θ关于直线θ=π4对称的曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ.

4.在极坐标系中,已知圆C 的圆心C ?

????3,π3,半径r =3. (1)求圆C 的极坐标方程;

(2)若点Q 在圆C 上运动,点P 在OQ 的延长线上,且OQ

→=2QP →,求动点P 的轨迹方程.

解 (1)设M (ρ,θ)是圆C 上任意一点.

在△OCM 中,∠COM =?

?????θ-π3,由余弦定理得 |CM |2=|OM |2+|OC |2

|·|OC |cos ? ????θ-π3, 化简得ρ=6cos ?

????θ-π3. (2)设点Q (ρ1,θ1),P (ρ,θ),

由OQ →=2QP →,得OQ →=23OP →,

∴ρ1=23ρ,θ1=θ,

代入圆C 的方程,得

23ρ=6cos ? ????θ-π3,即ρ=9cos ?

????θ-π3. 5.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:???x =t cos α,y =t sin α

(t 为参数,t ≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线

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第1讲 坐标系 π? 2 ? 1.在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ +sin θ 和直线 l:ρ sin?θ - ?= 2 . 4? ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 解 (1)圆 O:ρ=cos θ +sin θ ,即 ρ2=ρcos θ +ρsin θ , 圆 O 的直角坐标方程为:x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0, 2 ? π? 直线 l:ρsin?θ- ?= 2 , 4? ? 即 ρsin θ -ρcos θ =1, 则直线 l 的直角坐标方程为:y-x=1,即 x-y+1=0. 2 2 ?x +y -x-y=0, ?x=0, (2)由? 得? ?x-y+1=0, ?y=1, π? ? 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为?1, ?. 2? ? 2.(2017· 贵阳调研)以直角坐标系中的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐 标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ = 2 . 1-sin θ (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)过极点 O 作直线 l 交曲线于点 P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直线 l 的极坐标方 程. 解 (1)∵ρ= x2+y2,ρ sin θ =y, 2 化为 ρ-ρsin θ =2, 1-sin θ ∴ρ = ∴曲线的直角坐标方程为 x2=4y+4. (2)设直线 l 的极坐标方程为 θ=θ0(ρ∈R), 根据题意 2 2 =3· , 1-sin θ 0 1-sin(θ0+π ) π 5π 解得 θ0= 6 或 θ0= 6 , π 5π 直线 l 的极坐标方程 θ= 6 (ρ∈R)或 θ= 6 (ρ∈R). π 3.在极坐标系中,求曲线 ρ=2cos θ 关于直线 θ= 4 对称的曲线的极坐标方程. 解 以极点为坐标原点,极轴为 x 轴建立直角坐标系,则曲线 ρ=2cos θ 的直 π 角坐标方程为(x-1)2+y2=1,且圆心为(1,0).直线 θ= 4 的直角坐标方程为 y =x,因为圆心(1,0)关于 y=x 的对称点为(0,1), 所以圆(x-1)2+y2=1 关于 y=x 的对称曲线为 x2+(y-1)2=1. π 所以曲线 ρ=2cos θ 关于直线 θ= 4 对称的曲线的极坐标方程为 ρ=2sin θ . π? ? 4.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C?3, ?,半径 r=3. 3? ? (1)求圆 C 的极坐标方程; → =2QP → ,求动点 P 的 (2)若点 Q 在圆 C 上运动,点 P 在 OQ 的延长线上,且OQ 轨迹方程. 解 (1)设 M(ρ,θ )是圆 C 上任意一点. π? ? 在△OCM 中,∠COM=?θ - ?,由余弦定理得 3? ? π? ? |CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM|· |OC|cos?θ - ?, 3? ? π? ? 化简得 ρ=6cos?θ - ?. 3? ? (2)设点 Q(ρ1,θ 1),P(ρ,θ ), → =2QP → ,得OQ → =2OP → 由OQ 3 , 2 ∴ρ 1=3ρ ,θ 1=θ, 代入圆 C 的方程,得 π? π? 2 ? ? ?θ - ?,即 ρ=9cos?θ - ?. ρ = 6cos 3 3? 3? ? ? ?x=tcos α , 5.(2015· 全国Ⅱ卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:? (t 为参数,t ?y=tsin α ≠0),其中 0≤


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