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专题探究课三 金沙国际娱乐平台中数列问题的热点题型

1.(2015·重庆卷)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=

.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.

解 (1)设{an}的公差为d,则由已知条件得

a1+2d=2,3a1+

d=

化简得a1+2d=2,a1+d=

解得a1=1,d=

故{an}的通项公式an=1+

,即an=

.

(2)由(1)得b1=1,b4=a15=

=8.

设{bn}的公比为q,则q3=

=8,从而q=2,

故{bn}的前n项和

Tn=

=2n-1.

2.(2017·东北三省四校模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设

是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.

解 (1)依题意得

解得

∴an=2n+1.

(2)∵

=3n-1,∴bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1,

∴Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1,

3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n,

两式相减得,

-2Tn=3+2×3+2×32+…+2×3n-1-(2n+1)×3n

=3+2×

-(2n+1)×3n=-2n×3n,

∴Tn=n×3n.

3.已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=

,试求数列{bn}的前n项和Tn.

解 (1)设二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),

则f′(x)=2ax+b.

由于f′(x)=6x-2,得a=3,b=-2,

所以f(x)=3x2-2x.

又因为点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,

所以Sn=3n2-2n.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;

当n=1时,a1=S1=3×12-2×1=6×1-5,也适合上式,

所以an=6n-5(n∈N*).

(2)由(1)得bn=

·

故Tn=

.

4.在数列{an}中,log2an=2n+1,令bn=(-1)n-1·

,求数列{bn}的前n项和Tn.

解 由题意得bn=(-1)n-1

=(-1)n-1

.

当n为偶数时,Tn=

-…-

当n为奇数时,Tn=

-…+

故Tn=

5.(2017·兰州模拟)正项数列{an}的前n项和Sn满足:S

-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.

(1)求数列{an}的通项公式an;

(2)令bn=

,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<

.

(1)解 由S

-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,

得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0.

由于{an}是正项数列,所以Sn>0,Sn=n2+n.

于是a1=S1=2,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,又a1=2=2×1.

综上,数列{an}的通项an=2n.

(2)证明 由于an=2n,bn=

则bn=

.

Tn=

<

.

所以对于任意的n∈N*,都有Tn<

.

6.已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=anlog

an,Sn=b1+b2+…+bn,对任意正整数n,Sn+(n+m)an+1<0恒成立,试求m的取值范围.

解 (1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.

依题意,有2(a3+2)=a2+a4,

代入a2+a3+a4=28,得a3=8.

∴a2+a4=20,

解得

又{an}单调递增,∴

∴an=2n.

(2)bn=2n·log

2n=-n·2n,

∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①

∴-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②

①-②,得Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1

-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2.

由Sn+(n+m)an+1<0,

得2n+1-n×2n+1-2+n×2n+1+m×2n+1<0对任意正整数n恒成立,

∴m·2n+1<2-2n+1,即m<

-1对任意正整数n恒成立.∵

-1>-1,

∴m≤-1,即m的取值范围是(-∞,-1].

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专题探究课三 金沙国际娱乐平台中数列问题的热点题型 9 1.(2015· 重庆卷)已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 项和 S3=2. (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)设{an}的公差为 d,则由已知条件得 3×2 9 a1+2d=2,3a1+ 2 d=2, 3 化简得 a1+2d=2,a1+d= , 2 1 解得 a1=1,d=2, n-1 n+1 故{an}的通项公式 an=1+ 2 ,即 an= 2 . 15+1 (2)由(1)得 b1=1,b4=a15= 2 =8. b4 设{bn}的公比为 q,则 q3=b =8,从而 q=2, 1 故{bn}的前 n 项和 b1(1-qn) 1×(1-2n) n Tn= = =2 -1. 1-q 1-2 2.(2017· 东北三省四校模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0,且 S3 +S5=50,a1,a4,a13 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; ?bn? (2)设?a ?是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ? n? 3×2 4×5 ? ?3a1+ d + 5 a 1+ 2 2 d=50, 解 (1)依题意得? 2 ? ?(a1+3d) =a1(a1+12d), ?a1=3, 解得? ∴an=2n+1. ?d=2, bn (2)∵a =3n-1,∴bn=an·3n-1=(2n+1)· 3n-1, n ∴Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1, 3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n, 两式相减得, -2Tn=3+2×3+2×32+…+2×3n-1-(2n+1)×3n =3+2× 3(1-3n-1) -(2n+1)×3n=-2n×3n, 1-3 ∴Tn=n×3n. 3.已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x-2,数列{an} 的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 3 ,试求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 解 (1)设二次函数 f(x)=ax2+bx(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b. 由于 f′(x)=6x-2,得 a=3,b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上, 所以 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5; 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1=6×1-5,也适合上式, 所以 an=6n-5(n∈N*). (2)由(1)得 bn= 3 3 = anan+1 (6n-5)[6(n+1)-5] 1 ? 1 ? 1 =2·?6n-5-6n+1?, ? ? 1 ?? ? 1 1??1-1? ?1- 1 ? - ? ? ? ? ? + +…+ 故 Tn= ? ? 7? ?7 13? ?6n-5 6n+1?? 2?? ? 1 ? 1? 3n =2?1-6n+1?= . ? ? 6n+1 4(n+1) 4.在数列{an}中,log2an=2n+1,令 bn=(-1)n-1· ,求数列{bn}的前 log2anlog2an+1 n 项和 Tn. 解 由题意


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