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第1讲 绝对值不等式

1.设函数f (x )=|2x +1|-|x -4|.

(1)解不等式f (x )>2;

(2)求函数y =f (x )的最小值.

解 (1)法一 令2x +1=0,x -4=0分别得x =-12,x =4.

原不等式可化为:

?????x <-12,-x -5>2或?????-12≤x <4,3x -3>2

或???x ≥4,x +5>2. 即?????x <-12,x <-7或?????-12≤x <4,x >53

或???x ≥4,x >-3, ∴x <-7或x >53.

∴原不等式的解集为??????x ?

??x <-7或x >53. 法二 f (x )=|2x +1|-|x -4|=?????-x -5 ? ??

??x <-123x -3 ? ????-12≤x <4x +5 (x ≥4)

画出f (x )的图象,如图所示.

求得y =2与f (x )图象的交点为(-7,2),? ??

??53,2. 由图象知f (x )>2的解集为??????x ???x <-7或x >53. (2)由(1)的法二图象知:当x =-12时,

知:f (x )min =-92.

2.(2017·长沙一模)设α,β,γ均为实数.

(1)证明:|cos(α+β)|≤|cos α|+|sin β|,|sin(α+β)|≤|cos α|+|cos β|;

(2)若α+β+γ=0,证明:|cos α|+|cos β|+|cos γ|≥

1.

证明 (1)|cos(α+β)|=|cos αcos β-sin αsin β|≤

|cos αcos β|+|sin αsin β|≤|cos α|+|sin β|;

|sin(α+β)|=|sin αcos β+cos αsin β|≤|sin αcos β|+

|cos αsin β|≤|cos α|+|cos β|.

(2)由(1)知,|cos[α+(β+γ)]|≤|cos α|+|sin(β+γ)|≤|cos α|+|cos β|+ |cos γ|,

而α+β+γ=0,故|cos α|+|cos β|+|cos γ|≥1.

3.(2016·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数.

(1)求|2a +b |+|2a -b ||a |

的最小值; (2)若不等式|2a +b |+|2a -b |≥|a |(|2+x |+|2-x |)恒成立,求实数x 的取值范围. 解 (1)∵|2a +b |+(2a -b )|a |≥|2a +b +2a -b ||a |=|4a ||a |=4,∴|2a +b |+|2a -b ||a |的最小值为4.

(2)若不等式|2a +b |+|2a -b |≥|a |(|2+x |+|2-x |)恒成立,即|2+x |+|2-x |≤|2a +b |+|2a -b ||a |

恒成立, 故|2+x |+|2-x |≤? ????|2a +b |+|2a -b ||a |min

. 由(1)可知,|2a +b |+|2a -b ||a |

的最小值为4. ∴x 的取值范围即为不等式|2+x |+|2-x |≤4的解集.

解不等式得-2≤x ≤2.

故实数x 的取值范围为[-2,2].

4.(2017·广州二测)已知函数f (x )=log 2(|x +1|+|x -2|-a ).

(1)当a =7时,求函数f (x )的定义域;

(2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ,求实数a 的最大值.

解 (1)由题设知|x +1|+|x -2|>7,

①当x >2时,得x +1+x -2>7,解得x >4.

②当-1≤x ≤2时,得x +1+2-x >7,无解.

③当x <-1时,得-x -1-x +2>7,解得x <-3.

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第1讲 1.设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>2; (2)求函数 y=f(x)的最小值. 解 (1)法一 绝对值不等式 1 令 2x+1=0,x-4=0 分别得 x=-2,x=4. 原不等式可化为: 1 1 ? ? ?x<- , ?- ≤x<4, ?x≥4, 2 ? 或? 2 或? ?x+5>2. ? ? ?-x-5>2 ?3x-3>2 1 1 - ≤x<4, ? ? ?x<- , ? 2 ?x≥4, 2 或? 即? 或? 5 ?x>-3, ? ?x<-7 ? ?x>3 5 ∴x<-7 或 x>3. ? ? 5? ∴原不等式的解集为?x?x<-7或x>3?. ? ? ? 法二 -x-5 ?x<-2? ? ? ? ? f(x)=|2x+1|-|x-4|=? ? 1 ? 3x-3 ?-2≤x<4? ? ? ? ?x+5 (x≥4) ? 1? 画出 f(x)的图象,如图所示. ?5 ? 求得 y=2 与 f(x)图象的交点为(-7,2),?3,2?. ? ? ? ? 5? 由图象知 f(x)>2 的解集为?x?x<-7或x>3?. ? ? ? 1 (2)由(1)的法二图象知:当 x=-2时, 9 知:f(x)min=-2. 2.(2017· 长沙一模)设 α,β ,γ 均为实数. (1)证明:|cos(α+β)|≤|cos α |+|sin β |,|sin(α+β)|≤|cos α |+|cos β |; (2)若 α+β+γ=0,证明:|cos α |+|cos β |+|cos γ |≥1. 证明 (1)|cos(α+β)|=|cos α cos β -sin α sin β |≤ |cos α cos β |+|sin α sin β |≤|cos α |+|sin β |; |sin(α+β)|=|sin α cos β +cos α sin β |≤|sin α cos β |+ |cos α sin β |≤|cos α |+|cos β |. (2)由(1)知,|cos[α+(β+γ)]|≤|cos α |+|sin(β+γ)|≤|cos α |+|cos β |+ |cos γ |, 而 α+β+γ=0,故|cos α |+|cos β |+|cos γ |≥1. 3.(2016· 镇江模拟)已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求 |2a+b|+|2a-b| 的最小值; |a| (2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,求实数 x 的取值范围. 解 (1)∵ |2a+b|+(2a-b) |2a+b+2a-b| |4a| |2a+b|+|2a-b| ≥ = = 4 ,∴ 的 |a| |a| |a| |a| 最小值为 4. (2) 若 不 等 式 |2a + b| + |2a - b|≥|a|(|2 + x| + |2 - x|) 恒 成 立 , 即 |2 + x| + |2 - x|≤ |2a+b|+|2a-b| 恒成立, |a| ?|2a+b|+|2a-b|? ? 故|2+x|+|2-x|≤? . |a| ? ?min 由(1)可知, |2a+b|+|2a-b| 的最小值为 4. |a| ∴x 的取值范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4 的解集. 解不等式得-2≤x≤2. 故实数 x 的取值范围为[-2,2]. 4.(2017· 广州二测)已知函数 f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-a). (1)当 a=


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