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专项突破练4 切线的性质与判定问题

1.(2018浙江湖州)如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是     .?

答案70°

解析∵△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,∴OB平分∠ABC,OD⊥BC,

∴∠OBD=∠ABC=×40°=20°,

∴∠BOD=90°-∠OBD=70°.

2.(2018江苏徐州)如图,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD与☉O相切于点D.若∠C=18°,则∠CDA=     .?

答案126°

解析连接OD,则∠ODC=90°,∠COD=72°;

∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=∠COD=36°,∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°.

3.(2018内蒙古包头)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC=     .?

答案115°

解析连接OC,

∵DC切☉O于C,

∴∠DCO=90°,

∵∠D=40°,∴∠COB=∠D+∠DCO=130°,

的度数是130°,

的度数是360°-130°=230°,

∴∠BEC=×230°=115°.

4.(2018湖南邵阳)如图,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,过点B作BD⊥CD,垂足为点D,连接BC.BC平分∠ABD.求证:CD为☉O的切线.

证明∵BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠DBC,

∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,

∴∠OCB=∠DBC,∴OC∥BD,

∵BD⊥CD,∴OC⊥CD,

∵C在☉O上,∴CD为☉O的切线.

5.(2018甘肃定西)如图,点O是△ABC的边AB上一点,☉O与边AC相切于点E,与边BC,AB分别相交于点D、F,且DE=EF.

(1)求证:∠C=90°;

(2)当BC=3,sin A=时,求AF的长.

(1)证明连接OE,BE,如图.

∵DE=EF,∴.

∴∠OBE=∠DBE.

∵OE=OB,

∴∠OEB=∠OBE.

∴∠OEB=∠DBE,∴OE∥BC.

∵☉O与边AC相切于点E,∴OE⊥AC.

∴BC⊥AC.∴∠C=90°.

(2)解在△ABC中,∠C=90°,BC=3,sin A=,

∴AB=5,设☉O的半径为r,则AO=5-r,

在Rt△AOE中,sin A=,

∴r=,∴AF=5-2×.

6.(2018四川遂宁)如图,过☉O外一点P作☉O的切线PA切☉O于点A,连接PO并延长,与☉O交于C.D两点,M是半圆CD的中点,连接AM交CD于点N,连接AC,CM.

(1)求证:CM2=MN·MA;

(2)若∠P=30°,PC=2,求CM的长.

(1)证明∵☉O中,M点是半圆CD的中点,

,∴∠CAM=∠DCM.

又∵∠CMA=∠NMC,∴△AMC∽△CMN,

,即CM2=MN·MA.

(2)解连接OA,DM,

∵PA是☉O的切线,

∴∠PAO=90°,

又∵∠P=30°,

∴OA=PO=(PC+CO),

设☉O的半径为r,

∵PC=2,∴r=(2+r),解得r=2,

又∵CD是直径,∴∠CMD=90°,

∵CM=DM,

∴△CMD是等腰直角三角形,

∴在Rt△CMD中,由勾股定理得CM2+DM2=CD2,即2CM2=(2r)2=16,

则CM2=8,∴CM=2.

7.(2018湖南郴州)已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.

(1)求证:直线AD是☉O的切线;

(2)若AE⊥BC,垂足为M,☉O的半径为4,求AE的长.

(1)证明如图,

∵∠AEC=30°,

∴∠ABC=30°,

∵AB=AD,

∴∠D=∠ABC=30°,

根据三角形的内角和定理得,∠BAD=120°,

连接OA,∴OA=OB,

∴∠OAB=∠ABC=30°,

∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°,

∴OA⊥AD,∵点A在☉O上,

∴直线AD是☉O的切线.

(2)解连接OA,∵∠AEC=30°,

∴∠AOC=60°,

∵BC⊥AE于点M,

∴AE=2AM,∠OMA=90°,

在Rt△AOM中,AM=OA·sin∠AOM=4×sin 60°=2,∴AE=2AM=4.

8.(2018新疆乌鲁木齐)如图,AG是∠HAF的平分线,点E在AF上,以AE为直径的☉O交AG于点D,过点D作AH的垂线,垂足为点C,交AF于点B.

(1)求证:直线BC是☉O的切线;

(2)若AC=2CD,设☉O的半径为r,求BD的长度.

(1)证明连接OD,

∵AG是∠HAF的平分线,

∴∠CAD=∠BAD,

∵OA=OD,

∴∠OAD=∠ODA,

∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,

∵∠ACD=90°,∴∠ODB=∠ACD=90°,

即OD⊥CB,

∵D在☉O上,∴直线BC是☉O的切线.

(2)解在Rt△ACD中,设CD=a,

AC=2a,AD=a,连接DE,

∵AE是☉O的直径,∴∠ADE=90°,

由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90°,

∴△ACD∽△ADE,∴,

,∴a=,

由(1)知:OD∥AC,∴,即,

∵a=,解得BD=r.

9.(2018湖南娄底)如图,C、D是以AB为直径的☉O上的点,,弦CD交AB于点E.

(1)当PB是☉O的切线时,求证:∠PBD=∠DAB;

(2)求证:BC2-CE2=CE·DE;

(3)已知OA=4,E是半径OA的中点,求线段DE的长.

(1)证明∵AB是☉O的直径,

∴∠ADB=90°,即∠DAB+∠ABD=90°,

∵PB是☉O的切线,

∴∠ABP=90°,即∠PBD+∠ABD=90°,

∴∠DAB=∠PBD.

(2)证明∵∠A=∠C,∠AED=∠CEB,

∴△ADE∽△CBE,

,即DE·CE=AE·BE,

如图,连接OC,

设圆的半径为r,则OA=OB=OC=r,

则DE·CE=AE·BE=(OA-OE)(OB+OE)=r2-OE2,

,

∴∠AOC=∠BOC=90°,

∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2,BC2=BO2+CO2=2r2,

则BC2-CE2=2r2-(OE2+r2)=r2-OE2,

∴BC2-CE2=CE·DE.

(3)解∵OA=4,∴OB=OC=OA=4,

∴BC==4.

又∵E是半径OA的中点,∴AE=OE=2,

则CE==2.

∵BC2-CE2=DE·CE,

∴(4)2-(2)2=DE·2,

解得DE=.

10.(2018贵州黔西南)如图,CE是☉O的直径,BC切☉O于点C,连接OB,作ED∥OB交☉O于点D,BD的延长线与CE的延长线交于点A.

(1)求证:AB是☉O的切线;

(2)若☉O的半径为1,tan∠DEO=,tan∠A=,求AE的长.

(1)证明连接OD,如图.

∵ED∥OB,∴∠1=∠4,∠2=∠3,

∵OD=OE,∴∠3=∠4,

∴∠1=∠2.

在△DOB与△COB中,

∴△DOB≌△COB(SAS),

∴∠ODB=∠OCB,

∵BC切☉O于点C,∴∠OCB=90°,

∴∠ODB=90°,

∴AB是☉O的切线.

(2)解∵∠DEO=∠2,

∴tan∠DEO=tan∠2=,

∵☉O的半径为1,OC=1,

∴BC=,

tan∠A=,

∴AC=4BC=4,

∴AE=AC-CE=4-2.

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