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b 解析 设双曲线的一条渐近线方程为 y= x, a 圆的圆心为(2,0),半径为 2, 由弦长为 2 得出圆心到渐近线的距离为 根据点到直线的距离公式,得 b2 1+ 2=2. a 故选 A. 题型三 最值、范围问题 例 3 1 1? ?3 9? (2017· 浙江)如图,已知抛物线 x2=y,点 A? ?-2,4?,B?2,4?,抛物线上的点 P(x, |2b| a2+b 22-12= 3. c2 = a2

c = 3,解得 b2=3a2.所以 C 的离心率 e= = a 2

1 3 - <x< ?,过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q. y)? 2? ? 2

(1)求直线 AP 斜率的取值范围; (2)求|PA|· |PQ|的最大值. 解 (1)由 P(x,y),即 P(x,x2). 1 x2- 4 1 设直线 AP 的斜率为 k,则 k= =x- , 1 2 x+ 2 1 3 因为- <x< . 2 2 所以直线 AP 斜率的取值范围为(-1,1).

?kx-y+2k+4=0, (2)联立直线 AP 与 BQ 的方程? 9 3 ?x+ky-4k-2=0,

-k2+4k+3 解得点 Q 的横坐标是 xQ= . 2?k2+1?

1

1

\r

因为|PA|=

1? 1+k2? ?x+2?=

2

1+k2(k+1),

|PQ|=

?k-1??k+1?2 1+k (xQ-x)=- , k2+1

所以|PA|· |PQ|=-(k-1)(k+1)3, 令 f(k)=-(k-1)(k+1)3, 因为 f′(k)=-(4k-2)(k+1)2, 1? 1 ?1 ? 所以 f(k)在区间? |PQ|取得最大 ?-1,2?上单调递增,?2,1?上单调递减.因此当 k=2时,|PA|· 27 值 . 16 思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代数的角度考 虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方 法求最值;二是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角度考虑,根据圆锥曲线的几何意义求最 值与范围. x2 y2 跟踪训练 3 (2016· 山东)平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2= a b 1(a>b>0)的离心率是 3 , 抛物线 E: x2=2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限,E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A,B, 线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. ①求证:点 M 在定直线上; S1 ②直线 l 与 y 轴交于点 G,记△PFG 的面积为 S1,△PDM 的面积为 S2,求 的最大值及取得 S2 最大值时点 P 的坐标. (1)解 由题意知 a2-b2 1? 3 1 = ,可得 a2=4b2,因为抛物线 E 的焦点为 F? ?0,2?,所以 b=2, a 2

a=1,所以椭圆 C 的方程为 x2+4y2=1. m2 m, ?(m>0),由 x2=2y,可得 y′=x,所以直线 l 的 (2)①证明 设 P? 2? ? m2 斜率为 m,因此直线 l 的方程为 y- =m(x-m). 2

\r

m2 即 y=mx- . 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).

2 2 ? ?x +4y =1, 联立方程? m2 y = mx - , ? 2 ?

得(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0. 由 Δ>0,得 0

-m2 4m3 2m3 m2 y0 1 且 x1+x2= 2 , 因此 x0= 2 , 将其代入 y=mx- , 得 y0= , 因为 =- , 2 2 x 4 m 0 4m +1 4m +1 2?4m +1? 1 所以直线 OD 方程为 y=- x, 4m 1 ? ?y=-4mx, 1 联立方程? 得点 M 的纵坐标 yM=- , 4 ? ?x=m, 1 所以点 M 在定直线 y=- 上. 4 m2 ②解 由①知直线 l 的方程为 y=mx- , 2 m2 m2 0,- ?, 令 x=0,得 y=- ,所以 G? 2? ? 2

? 2m3 -m2 ? m2? 1? ? ? 又 P?m, 2 ?,F?0,2?,D? 2 , ?, 2 ?4m +1 2?4m +1??

?m2+1?m 1 所以 S1= · |GF|· m= , 2 4

2 3 1 1 2m +1 2m +m S2= · |PM|· |m-x0|= × × 2 2 2 4 4m +1

m?2m2+1?2 , 8?4m2+1?

2 2 S1 2?4m +1??m +1? 所以 = . S2 ?2m2+1?2 2 S1 ?2t-1??t+1? 2t +t-1 设 t=2m +1,则 = = S2 t2 t2 2

\r

1 1 =- 2+ +2, t t 1 1 S1 9 当 = ,即 t=2 时, 取到最大值 , t 2 S2 4 此时 m= 2 2 1 ,满足(*)式,所以 P 点坐标为? , ?. 2 ? 2 4?

S1 9 2 1 因此 的最大值为 ,此时点 P 的坐标为? , ?. S2 4 ? 2 4?

题型四 定点、定值问题 例4 (2017· 益阳、湘潭调研)已知动圆 P 经过点 N(1,0),并且与圆 M:(x+1)2+y2=16 相切.

(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设 G(m,0)为轨迹 C 内的一个动点,过点 G 且斜率为 k 的直线 l 交轨迹 C 于 A,B 两点,当 k 为何值时,ω=|GA|2+|GB|2 是与 m 无关的定值,并求出该定值. 解 (1)由题设得|PM|+|PN|=4>|MN|=2, ∴点 P 的轨迹 C 是以 M,N 为焦点的椭圆, ∵2a=4,2c=2,∴b= a2-c2= 3,

x2 y2 ∴点 P 的轨迹 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),G(m,0)(-2

? ?y=k?x-m?, 由?x2 y2 ? ? 4 + 3 =1,

得(3+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-12=0, 4k2m2-12 x1+x2= 2 ,x1· x2= , 4k +3 4k2+3 8mk2 ∴y1+y2=k(x1-m)+k(x2-m) 6mk =k(x1+x2)-2km=- 2 . 4k +3 y1· y2=k2(x1-m)(x2-m) =k2x1x2-k2m(x1+x2)+k2m2

\r

3k2?m2-4? . 4k2+3

2 2 ∴|GA|2+|GB|2=(x1-m)2+y2 1+(x2-m) +y2

=(x1+x2)2-2x1x2-2m(x1+x2)+2m2+(y1+y2)2-2y1y2 -6m2?4k2-3?+24?3+4k2? =(k +1) . ?4k2+3?2

2

∵ω=|GA|2+|GB|2 的值与 m 无关,∴4k2-3=0, 3 解得 k=± .此时 ω=|GA|2+|GB|2=7. 2 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 跟踪训练 4 已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; m ? (2)若 l 过点? ? 3 ,m?,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能, 求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. (1)证明 设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0), A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2, 得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,① x1+x2 -kb 9b 故 xM= = 2 ,yM=kxM+b= 2 . 2 k +9 k +9 yM 9 于是直线 OM 的斜率 kOM= =- ,即 kOM· k=-9. xM k 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (2)解 四边形 OAPB 能为平行四边形. m 2 2 2 ? 因为直线 l 过点? (b2-m2)>0,得 k2m2>9b2-9m2, ? 3 ,m?,由①中判别式 Δ=4k b -4(k +9)·

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金沙国际娱乐平台专题突破五 【考点自测】 金沙国际娱乐平台中的圆锥曲线问题 x2 y2 5 1.(2017· 全国Ⅲ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= x,且与椭 a b 2 x2 y2 圆 + =1 有公共焦点,则 C 的方程为( 12 3 x2 y2 A. - =1 8 10 x2 y2 C. - =1 5 4 答案 B 解析 由 y= 5 b 5 x,可得 = .① 2 a 2 ) x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 4 3 x2 y2 由椭圆 + =1 的焦点为(3,0),(-3,0), 12 3 可得 a2+b2=9.② 由①②可得 a2=4,b2=5. x2 y2 所以 C 的方程为 - =1.故选 B. 4 5 x2 y2 2.(2017· 全国Ⅲ)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 a b 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( A. 6 3 B. 3 2 1 C. D. 3 3 3 ) 答案 A 解析 由题意知,以 A1A2 为直径的圆的圆心为(0,0),半径为 a.又直线 bx-ay+2ab=0 与圆 相切, ∴圆心到直线的距离 d= b 1 ∴ = , a 3 c ∴e= = a 故选 A. a2-b2 = a b?2 1-? ?a? = 1-? 1 ?2 6 = . ? 3? 3 =a,解得 a= 3b, a2+b2 2ab 3.(2017· 全国Ⅰ)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直 线 l1 与 C 交于 A,B 两点,直线 l2 与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( A.16 B.14 C.12 D.10 答案 A 解析 因为 F 为 y2=4x 的焦点, 所以 F(1,0). 由题意知直线 l1,l2 的斜率均存在,且不为 0,设 l1 的斜率为 k,则 l2 的 1 1 斜率为- ,故直线 l1,l2 的方程分别为 y=k(x-1),y=- (x-1). k k ) ?y=k?x-1?, ? 由? 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 2 ? ?y =4x, 显然,该方程必有两个不等实根. 2k2+4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x1x2=1, k 所以|AB|= = = 1+k2· |x1-x2| 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 1+k · 2 4?1+k ? ?2k2+4?2 ? 2 ? -4= k2 . ? k ? 2 同理可得|DE|=4(1+k2). 所以|AB|+|DE|= 4?1+k2? +4(1+k2) k2 1 2? =4? ?k2+1+1+k ? 1? 2 =8+4? ?k +k2?≥8+4×2=16, 1 当且仅当 k2= 2,即 k=± 1 时,取得等号. k 故选 A. y2 4.(2017· 北京)若双曲线 x2- =1 的离心率为 3,则实数 m=________. m 答案 2 解析 由双曲线的标准方程知 a=1,b2=m,c= c 故双曲线的离心率 e= = a ∴1+m=3,解得 m=2. 1+m= 3, 1+m, x2 y2 5.(2017· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为 F a b 的抛物线 x2=2py(p>0)交于 A,B


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