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2 1 4m2 0, ?. ∴- ≤- 2 ≤0,解得 m2∈? 7? ? 2 m +2 |AB|2=(1+m2)|y1-y2|2 =(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2] 1 ? ?m2+1?2 ? =8? 2 ? =8?1- 2 ?2, ? m +2? ?m +2? 2? 1 ? 7 1? ∵m2∈? ?0,7?,∴m2+2∈?16,2?, ∴|AB|∈? 2,

?

9 2? . 8 ?

2.(2018· 新余联考)如图所示,已知点 E(m,0)为抛物线 y2=4x 内的一 个定点,过 E 作斜率分别为 k1,k2 的两条直线,分别交抛物线于点 A, B,C,D,且 M,N 分别是 AB,CD 的中点. (1)若 m=1,k1k2=-1,求△EMN 面积的最小值; (2)若 k1+k2=1,求证:直线 MN 过定点. (1)解 当 m=1 时,E 为抛物线 y2=4x 的焦点, ∵k1k2=-1,∴AB⊥CD, 直线 AB 的方程为 y=k1(x-1),设 A(x1,y1),B(x2,y2),

? ?y=k1?x-1?, 由? ?y2=4x, ?

得 k1y2-4y-4k1=0, 4 显然方程有两不等实根,y1+y2= ,y1y2=-4, k1 ∵AB 的中点为 M?

?x1+x2 y1+y2? ?, ? 2 , 2 ?

y1 y2 4 x1+x2= +1+ +1= 2+2. k1 k1 k1 2 2? 2+1, ∴M? k k ? ?,

1 1

同理,点 N(2k2 1+1,-2k1). 1 ∴S△EMN= |EM|· |EN| 2

\r

1 2

2 2 ? 22?2+? 2 ?2· ?2k2 1? +?-2k1? ?k1? ?k1?

=2

1 k2 1+ 2+2≥2 k1

2+2=4,

1 当且仅当 k2 1 时,△EMN 的面积取最小值 4. 1= 2,即 k1=± k1 (2)证明 直线 AB 的方程为 y=k1(x-m),

? ?y=k1?x-m?, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? ?y2=4x, ?

得 k1y2-4y-4k1m=0,显然方程有两不等实根. 4 y1+y2= ,y1y2=-4m, k1 ∵AB 的中点为 M?

?x1+x2 y1+y2? ?, ? 2 , 2 ?

y1 y2 x1+x2= +m+ +m k1 k1 4 k1 4 = +2m= 2+2m, k1 k1 2 2? ∴M? ?k2+m,k ?,

1 1

2 2? 同理,点 N? ?k2+m,k ?,

2 2

k1k2 ∴kMN= =k1k2, k1+k2 2 ? 2 +m??, ∴直线 MN:y- =k1k2? ?x-?k2 ?? k1 1 即 y=k1k2(x-m)+2, ∴直线 MN 恒过定点(m,2). 3.(2017· 衡水联考)在平面直角坐标系 xOy 中,过点 C(2,0)的直线与抛物线 y2=4x 相交于 A, B 两点,设 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)求证:y1y2 为定值; (2)是否存在平行于 y 轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该 直线方程和弦长;如果不存在,请说明理由.

\r

(1)证明 方法一 当直线 AB 垂直于 x 轴时, y1=2 2,y2=-2 2, 因此 y1y2=-8(定值). 当直线 AB 不垂直于 x 轴时, 设直线 AB 的方程为 y=k(x-2),

?y=k?x-2?, ? 由? 得 ky2-4y-8k=0. 2 ? ?y =4x,

∴y1y2=-8. 因此有 y1y2=-8,为定值. 方法二 显然直线 AB 的斜率不为 0. 设直线 AB 的方程为 my=x-2,

? ?my=x-2, 由? 得 y2-4my-8=0. 2 ? ?y =4x,

∴y1y2=-8,为定值. (2)解 设存在直线 l:x=a 满足条件, 则 AC 的中点为 E? |AC|=

?x1+2 y1? ?, ? 2 ,2?

2 ?x1-2?2+y1 .

因此以 AC 为直径的圆的半径 1 1 r= |AC|= 2 2 1 2 ?x1-2?2+y1 = 2 x2 1+4,

又点 E 到直线 x=a 的距离 d=? 故所截弦长为 2 = r2-d2=2

?x1+2 ? ? ? 2 -a?

?x1+2 ?2 1 2 ?x +4?-? ? 4 1 ? 2 -a?

2 x1 +4-?x1+2-2a?2

\r

-4?1-a?x1+8a-4a2.

当 1-a=0,即 a=1 时,弦长为定值 2,这时直线方程为 x=1. 4.已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与 圆 x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论. x2 y2 解 (1)由题意知,椭圆 C 的标准方程为 + =1, 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e= = . a 2 (2)直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB,所以OA· OB=0, 2y0 即 tx0+2y0=0,解得 t=- . x0 t2 当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆 C 的方程,得 t=± 2, 2 故直线 AB 的方程为 x=± 2, 圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2. 此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. y0-2 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x-t). x0-t 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离 d= |2x0-ty0| ?y0-2?2+[-?x0-t?]2 .

2y0 2 又 x2 , 0+2y0=4,t=- x0

\r

故 d=

= 4y2 0 2 2 x0+y0+ 2 +4 x0

?2x0+2y0? x0 ? ?

2

2 ?4+x0 ? ? ? x ? 0 ? 2 x4 0+8x0+16 2x2 0

= 2.

此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. 综上,直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.

x2 y2 3 5.(2018· 商丘质检)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,a+b=3. a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图所示,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴于点 N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m.证明:2m-k 为定值.

(1)解 因为 e= 所以 a=

3 c = , 2 a

2 1 c,b= c. 3 3

代入 a+b=3 得,c= 3,a=2,b=1. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 1? (2)证明 因为 B(2,0),点 P 不为椭圆顶点,则可设直线 BP 的方程为 y=k(x-2)? 2?,① ?k≠0,k≠±

?8k2-2 4k ? x2 2 ①代入 +y =1,解得 P? 2 ,- 2 ?. 4 4k +1 4k +1 ? ?

1 直线 AD 的方程为 y= x+1.② 2 ①与②联立解得 M?

?4k+2

4k ? , ?. ?2k-1 2k-1?

?8k2-2 4k ? 由 D(0,1),P? 2 ,- 2 ?,N(x,0)三点共线知 4k +1? ?4k +1

\r

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金沙国际娱乐平台专题突破五 【考点自测】 金沙国际娱乐平台中的圆锥曲线问题 x2 y2 5 1.(2017· 全国Ⅲ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= x,且与椭 a b 2 x2 y2 圆 + =1 有公共焦点,则 C 的方程为( 12 3 x2 y2 A. - =1 8 10 x2 y2 C. - =1 5 4 答案 B 解析 由 y= 5 b 5 x,可得 = .① 2 a 2 ) x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 4 3 x2 y2 由椭圆 + =1 的焦点为(3,0),(-3,0), 12 3 可得 a2+b2=9.② 由①②可得 a2=4,b2=5. x2 y2 所以 C 的方程为 - =1.故选 B. 4 5 x2 y2 2.(2017· 全国Ⅲ)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 a b 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( A. 6 3 B. 3 2 1 C. D. 3 3 3 ) 答案 A 解析 由题意知,以 A1A2 为直径的圆的圆心为(0,0),半径为 a.又直线 bx-ay+2ab=0 与圆 相切, ∴圆心到直线的距离 d= b 1 ∴ = , a 3 c ∴e= = a 故选 A. a2-b2 = a b?2 1-? ?a? = 1-? 1 ?2 6 = . ? 3? 3 =a,解得 a= 3b, a2+b2 2ab 3.(2017· 全国Ⅰ)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直 线 l1 与 C 交于 A,B 两点,直线 l2 与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( A.16 B.14 C.12 D.10 答案 A 解析 因为 F 为 y2=4x 的焦点, 所以 F(1,0). 由题意知直线 l1,l2 的斜率均存在,且不为 0,设 l1 的斜率为 k,则 l2 的 1 1 斜率为- ,故直线 l1,l2 的方程分别为 y=k(x-1),y=- (x-1). k k ) ?y=k?x-1?, ? 由? 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 2 ? ?y =4x, 显然,该方程必有两个不等实根. 2k2+4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x1x2=1, k 所以|AB|= = = 1+k2· |x1-x2| 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 1+k · 2 4?1+k ? ?2k2+4?2 ? 2 ? -4= k2 . ? k ? 2 同理可得|DE|=4(1+k2). 所以|AB|+|DE|= 4?1+k2? +4(1+k2) k2 1 2? =4? ?k2+1+1+k ? 1? 2 =8+4? ?k +k2?≥8+4×2=16, 1 当且仅当 k2= 2,即 k=± 1 时,取得等号. k 故选 A. y2 4.(2017· 北京)若双曲线 x2- =1 的离心率为 3,则实数 m=________. m 答案 2 解析 由双曲线的标准方程知 a=1,b2=m,c= c 故双曲线的离心率 e= = a ∴1+m=3,解得 m=2. 1+m= 3, 1+m, x2 y2 5.(2017· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为 F a b 的抛物线 x2=2py(p>0)交于 A,B


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