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零点或根的重数

如果f(x)可以分解成

f ( x) ? ( x ? x* )m g ( x),

其中 m为正整数且 g ( x ) ? 0, 则称 x* 是 f(x) 的 m重零点 ,

*

或方程f(x)=0的m重根. 当m=1时称x*为单根. 若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m>1) 当且仅当

f ( x* ) ? f ?( x* ) ? ? ? f ( m?1) ( x* ) ? 0, f ( m) ( x* ) ? 0

\f当f(x)不是x的线性函数时,称对应的函数方程为

非线性方程. 如果f(x)是多项式函数,则称为代数方程

,若f(x)是三角函数、指数函数、对数函数等,称为超 越方程. 一般称n次多项式构成的方程

an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0 ? 0

(an ? 0)

为n次代数方程,当n>1时,方程显然是非线性的 一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程

,很难甚至无法求得精确解.

\f本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种 数值解法 逐步搜索法 二分法

?

区间法

?

迭代法

?

…. Newton法 弦截法 抛物线法 ….

记笔记

\f通常方程求根的数值解法大致分为三个步骤进行 ① 判定根的存在性. 即方程有没有根?如果有 根,有几个根?

② 确定根的分布范围. 即将每一个根用区间隔

离开来,这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值. ③ 根的精确化. 将根的初始近似值按某种方法 逐步精确化,直到满足预先要求的精度为止

\f本章介绍方程求根的数值解法, 它既可以用来求

解代数方程, 也可以用来解超越方程, 并且仅限于

求方程的实根.

运用迭代解方程的根应解决以下两个问题:

? ?

确定根的初值;

将进一步精确化到所需要的精度.

记笔记

\f6.1.1 逐步搜索法

为明确起见,不妨假定f(a)<0, f(b)>0. 从有根区间[a, b]的左端的x0=a出发,按照某个预

定的步长h一步一步地向右跨,每跨一步进行一次根的

“搜索”,即检查节点xk=a+kh上的函数值f(xk)的符号,

一旦发现f(xk) 与f(a)异号, 则可以确定一个缩小了的有

根区间[xk-1, xk], 其宽度等于预定的步长h

\f例6.1 方程f(x)=x3-x-1=0, 确定其有根区间.

解:不难发现f(0)<0, f(2)>0, 知f(x)在区间(0,2)内至 有一个实根 设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的

搜索,列表如下

f (x )

可以看出,在[1.0, 1.5]内必有一根.

x

0 –

0.5 –

1.0 –

1.5 +

\f用逐步搜索法的关键是选取步长h 只要h取得足够小, 利用此法可以得到具有任意精 度的近似根.

相应的, 所需要的搜索步数增多,计算量增大

\f6.1.2 二分法

二分法又称二分区间法,是求解方程(6.1)的近似 根的一种常用的简单方法. 二分法的基本思想: 首先确定有根区间,将区间二 等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区间缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度要求的

近似根.

\f求根过程

a?b , ① 取有根区间[a,b]的中点 x0 ?\r

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