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第9讲离散型随机变量的均值与方差

一、选择题

1.已知离散型随机变量X的概率分布列为

则其方差D(X)=()

A.1

B.0.6

C.2.44

D.2.4

解析由0.5+m+0.2=1得m=0.3,∴E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,∴D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.

答案 C

2.(2017·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为()

A.100

B.200

C.300

D.400

解析设没有发芽的种子有ξ粒,则ξ~B(1 000,0.1),且X=2ξ,∴E(X)=E(2ξ) =2E(ξ)=2×1 000×0.1=200.

答案 B

3.已知随机变量X服从二项分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数n,p的值为()

A.n=4,p=0.6

B.n=6,p=0.4

C.n=8,p=0.3

D.n=24,p=0.1

解析由二项分布X~B(n,p)及E(X)=np,D(X)=np·(1-p)得2.4=np,且1.44 =np(1-p),解得n=6,p=0.4.故选B.

答案 B

4.已知随机变量X+η=8,若X~B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是()

A.6,2.4

B.2,2.4

C.2,5.6

D.6,5.6

解析 由已知随机变量X +η=8,所以有η=8-X .因此,求得E (η)=8-E (X )=8-10×0.6=2,D (η)=(-1)2D (X )=10×0.6×0.4=2.4.

答案 B

5.口袋中有5只球,编号分别为1,2,3,4,5,从中任取3只球,以X 表示取出的球的最大号码,则X 的数学期望E (X )的值是( )

A.4

B.4.5

C.4.75

D.5 解析 由题意知,X 可以取3,4,5,P (X =3)=1C 35=110,

P (X =4)=C 23C 35=310,P (X =5)=C 24C 35

=610=35, 所以E (X )=3×110+4×310+5×35=4.5.

答案 B

二、填空题

6.设X 为随机变量,X ~B ? ??

??n ,13,若随机变量X 的数学期望E (X )=2,则P (X =2)等于________.

解析 由X ~B ? ??

??n ,13,E (X )=2,得 np =13n =2,∴n =6,

则P (X =2)=C 26? ????132? ??

??1-134=80243. 答案 80243

7.随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ=0)=15,E (ξ)=1,则D (ξ)=________.

解析 设P (ξ=1)=a ,P (ξ=2)=b ,

则???15+a +b =1,a +2b =1,解得?????a =35,

b =15,

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第9讲 一、选择题 离散型随机变量的均值与方差 1.已知离散型随机变量 X 的概率分布列为 X P 则其方差 D(X)=( A.1 解析 ) B.0.6 C.2.44 D.2.4 1 0.5 3 m 5 0.2 由 0.5+m+0.2=1 得 m=0.3,∴E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,∴ D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44. 答案 C 2.(2017· 西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于 没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期 望为( A.100 解析 ) B.200 C.300 D.400 设没有发芽的种子有 ξ 粒, 则 ξ~B(1 000, 0.1), 且 X=2ξ, ∴E(X)=E(2ξ) =2E(ξ)=2×1 000×0.1=200. 答案 B 3.已知随机变量 X 服从二项分布,且 E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参 数 n,p 的值为( A.n=4,p=0.6 C.n=8,p=0.3 解析 ) B.n=6,p=0.4 D.n=24,p=0.1 由二项分布 X~B(n, p)及 E(X)=np, D(X)=np·(1-p)得 2.4=np, 且 1.44 =np(1-p),解得 n=6,p=0.4.故选 B. 答案 B ) 4.已知随机变量 X+η=8,若 X~B(10,0.6),则 E(η),D(η)分别是( A.6,2.4 C.2,5.6 B.2,2.4 D.6,5.6 解析 由已知随机变量 X+η=8,所以有 η=8-X.因此,求得 E(η)=8-E(X) =8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4. 答案 B 5.口袋中有 5 只球,编号分别为 1,2,3,4,5,从中任取 3 只球,以 X 表示 取出的球的最大号码,则 X 的数学期望 E(X)的值是( A.4 解析 B.4.5 C.4.75 5 ) D.5 1 1 由题意知,X 可以取 3,4,5,P(X=3)=C3=10, C2 3 C2 6 3 3 4 P(X=4)=C3=10,P(X=5)=C3=10=5, 5 5 1 3 3 所以 E(X)=3×10+4×10+5×5=4.5. 答案 B 二、填空题 1? ? 6.设 X 为随机变量,X~B?n,3?,若随机变量 X 的数学期望 E(X)=2,则 P(X ? ? =2)等于________. 1? ? 解析 由 X~B?n,3?,E(X)=2,得 ? ? 1 np=3n=2,∴n=6, 2 1?4 80 2?1? ? ?3? ?1-3? = 则 P(X=2)=C6 243. ? ? ? ? 80 答案 243 1 7.随机变量 ξ 的取值为 0,1,2.若 P(ξ=0)=5,E(ξ)=1,则 D(ξ)=________. 解析 设 P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b, 3 a=5, ? ?1 + a + b = 1 , ? 5 则? 解得? 1 ?a+2b=1, ? ?b=5, 1 3 1 2 所以 D(ξ)=(0-1)2×5+(1-1)2×5+(2-1)2×5=5. 2 答案 5 8.(2017· 合肥模拟)某科技创新大赛设有一、 二、 三等奖(参与活动的都有奖)且相 应奖项获奖的概率是以 a 为首项,2 为公比的等比数列,相应的奖金分别是 7 0


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